Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Интегралы / Neopredelennyi_int2.ppt
Скачиваний:
38
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
455.68 Кб
Скачать

Интегрирование рациональных функций

Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби

Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Интегрирование простейших дробей

Общее правило интегрирования рациональных дробей

Дробно – рациональная функция

Дробно – рациональной функцией называется функция, равная

отношению двух многочленов:

f (x) Pm (x) Qn (x)

Рациональная дробь называется правильноймногочлен, если степеньстепени m

числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в

многочлен степени n

противном случае дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена

L(x) и правильной рациональной дроби:

P(x) L(x) R(x) Q(x) Q(x)

Дробно – рациональная функция

Привести неправильную дробь к правильному виду:

x4

 

5x 9

 

x

2

 

 

 

x4 5x 9

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 2x3

 

x3 2x

2 4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 5x 9

 

 

 

 

 

 

 

 

2x3 5x 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x3 4x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2 5x 9

x3 2x2 4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

4x

2

8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие рациональные дроби

Правильные рациональные дроби вида:

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

(k 2; k N)

 

 

 

 

 

 

 

 

x a k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mx N

 

 

(p2 4q 0)

 

 

 

x2 px q

 

 

 

 

 

 

V

 

 

Mx N

(p2 4q 0;

k 2; k N)

 

 

 

x2 px q k

Называются простейшими рациональными дробями

, , , V

типов.

 

Разложение рациональной дроби

 

 

 

 

 

 

 

P(x)

 

 

на

простейшие дроби

 

,

 

Теорема:

Всякую правильную рациональную дробь

Q(x)

 

знаменатель которой разложен на множители:

 

 

Q(x) (x x ) (x x

)k (x2

p x q )

 

 

 

 

1

2

 

1

1

 

 

(x2 p x q

)s

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:

P(x)

 

A

 

B1

 

 

B2

 

 

Bk

 

Q(x)

x x

x x

2

(x x

)2

(x x

)k

 

1

 

 

 

2

 

 

2

 

 

Cx D

 

M1x N1

 

 

M2 x N2

 

 

 

x2 p x q

x2 p x q

2

(x2 p x q

)2

 

 

1

1

 

 

2

 

2

2

 

 

 

 

Ms x Ns

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 p x q

)s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложение рациональной дроби

Пояснимна простейшиеформулировку теоремыдробина следующих примерах:

 

x2 4

 

 

 

 

A

 

B1

 

B2

 

B3

(x 2)(x

3)3

x 2

 

 

 

 

x 3

(x 3)2

(x 3)3

 

x3 3

 

A

 

A

 

Cx D

 

 

 

 

 

 

1

2

x2 1

 

 

 

 

 

x2 (x2 1)

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x2

 

 

 

 

 

7x2 8x 9

 

A

 

M1x N1

 

 

M2 x N2

(x 4)(x2 x 1)2

x 4

x2 x 1

(x2 x 1)2

 

 

 

Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D

применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод

рассмотрим на примере.

Разложение рациональной дроби

наПредставитьпростейшиедробь в виде суммыдробипростейших дробей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2 3x 3

 

 

1

 

 

3x 2

 

 

x 1

 

x2

2x 5

 

(x 1)(x2 2x 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A(x2

Ax2

x2

x1

x0

2x 5) (Bx C)(x 1)

 

(x 1)(x

2

2x 5)

 

 

 

Приведем простейшие дроби

 

 

 

к общему знаменателю

 

2Ax 5A Bx2 Cx

Bx C 2x2 3x 3

A B

Приравняем числители

 

2

A 1

 

 

 

получившейся и исходной

 

2A C

дробей

 

B 3

B 3

5A C

Приравняем коэффициенты

 

3

C 2

 

 

 

при одинаковых степенях х

 

Интегрирование простейших

дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:

 

 

 

A

 

dx

 

 

d(x a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

a

A x a

Aln

x a

C

 

 

 

 

 

 

 

 

A

k

dx

A x a k d(x a)

 

a

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x a k 1 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

Mx N

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

px q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.

Интегрирование простейших

 

 

дробей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

x2 2x 10

dx (x2 2x 1) 9

 

 

 

3x 1

 

dx

 

x 1 t

 

 

 

 

3(t 1) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)2 9

 

x t 1

 

 

t 2 9

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx dt

 

 

 

 

 

 

3 d t 2 9

 

 

3t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

t dt

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

t 2 9 dt

3 t 2 9

 

2 t 2 9

 

 

2 t 2 9

 

2

 

 

 

t

3

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 arctg

 

 

2 ln

 

t

 

 

9

 

3 arctg

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ln

 

x2

 

2x 10

 

2 arctg

x 1

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование простейших

 

дробей

 

 

 

 

 

Mx N

 

 

 

 

V x2 px q k

dx

x

p

t

Интеграл данного типа с помощью подстановки:

 

приводится к сумме двух интегралов:

2

 

t dt

dt

 

 

 

M t 2 a2 k

N1 t 2 a2 k

 

 

 

Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала.

Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы:

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

1

 

2k 3

 

 

t

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

k

 

2

 

 

2

 

2

 

k 1

 

a

 

 

a

 

2k 2

 

 

2(k 1)(t

a

)

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке Интегралы