- •Интегрирование рациональных функций
- •Дробно – рациональная функция
- •Дробно – рациональная функция
- •Простейшие рациональные дроби
- •Разложение рациональной дроби
- •Разложение рациональной дроби
- •Интегрирование простейших
- •Интегрирование простейших
- •Интегрирование простейших
- •Интегрирование простейших
- •Общее правило интегрирования
- •Пример
- •Пример
Интегрирование рациональных функций
Дробно – рациональная функция Простейшие рациональные дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Интегрирование простейших дробей
Общее правило интегрирования рациональных дробей
Дробно – рациональная функция
Дробно – рациональной функцией называется функция, равная
отношению двух многочленов:
f (x) Pm (x) Qn (x)
Рациональная дробь называется правильноймногочлен, если степеньстепени m
числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в
многочлен степени n
противном случае дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена
L(x) и правильной рациональной дроби:
P(x) L(x) R(x) Q(x) Q(x)
Дробно – рациональная функция
Привести неправильную дробь к правильному виду: |
x4 |
|
5x 9 |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x4 5x 9 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x4 2x3 |
|
x3 2x |
2 4x 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 5x 9 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2x3 5x 9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x3 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
15 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x2 5x 9 |
x3 2x2 4x 3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x |
2 |
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшие рациональные дроби
Правильные рациональные дроби вида:
|
|
|
A |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
(k 2; k N) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x a k |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Mx N |
|
|
(p2 4q 0) |
|
||
|
|
x2 px q |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
V |
|
|
Mx N |
(p2 4q 0; |
k 2; k N) |
||||
|
|
||||||||
|
x2 px q k |
Называются простейшими рациональными дробями
, , , V
типов.
|
Разложение рациональной дроби |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
P(x) |
|
|
на |
простейшие дроби |
|
, |
||||
|
Теорема: |
Всякую правильную рациональную дробь |
Q(x) |
|||||
|
знаменатель которой разложен на множители: |
|
||||||
|
Q(x) (x x ) (x x |
)k (x2 |
p x q ) |
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
1 |
|
|
(x2 p x q |
)s |
|
|
|
|
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
можно представить, притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:
P(x) |
|
A |
|
B1 |
|
|
B2 |
|
|
Bk |
|
Q(x) |
x x |
x x |
2 |
(x x |
)2 |
(x x |
)k |
||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
Cx D |
|
M1x N1 |
|
|
M2 x N2 |
|
|
|
||||
x2 p x q |
x2 p x q |
2 |
(x2 p x q |
)2 |
|||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
||
|
|
Ms x Ns |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x2 p x q |
)s |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложение рациональной дроби
Пояснимна простейшиеформулировку теоремыдробина следующих примерах:
|
x2 4 |
|
|
|
|
A |
|
B1 |
|
B2 |
|
B3 |
|||
(x 2)(x |
3)3 |
x 2 |
|
|
|
|
|||||||||
x 3 |
(x 3)2 |
(x 3)3 |
|||||||||||||
|
x3 3 |
|
A |
|
A |
|
Cx D |
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
2 |
x2 1 |
|
|
|
|
||||||
|
x2 (x2 1) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
7x2 8x 9 |
|
A |
|
M1x N1 |
|
|
M2 x N2 |
|
(x 4)(x2 x 1)2 |
x 4 |
x2 x 1 |
(x2 x 1)2 |
|||||
|
|
|
Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D…
применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и метод частных значений переменной. Первый метод
рассмотрим на примере.
Разложение рациональной дроби
наПредставитьпростейшиедробь в виде суммыдробипростейших дробей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 3x 3 |
|
|
1 |
|
|
3x 2 |
||
|
|
x 1 |
|
x2 |
2x 5 |
|
||
(x 1)(x2 2x 5) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x2
Ax2
x2
x1
x0
2x 5) (Bx C)(x 1) |
|
|||
(x 1)(x |
2 |
2x 5) |
|
|
|
Приведем простейшие дроби |
|
||
|
|
к общему знаменателю |
|
|
2Ax 5A Bx2 Cx |
Bx C 2x2 3x 3 |
|||
A B |
Приравняем числители |
|
||
2 |
A 1 |
|
||
|
|
получившейся и исходной |
|
|
2A C |
дробей |
|
||
B 3 |
B 3 |
|||
5A C |
Приравняем коэффициенты |
|
||
3 |
C 2 |
|
||
|
|
при одинаковых степенях х |
|
Интегрирование простейших
дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
|
|
|
A |
|
dx |
|
|
d(x a) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
a |
A x a |
Aln |
x a |
C |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A |
k |
dx |
A x a k d(x a) |
||||||||
|
a |
||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x a k 1 C |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
||
|
|
|
|
|
Mx N |
|
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 |
px q |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.
Интегрирование простейших |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||
x2 2x 10 |
dx (x2 2x 1) 9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3x 1 |
|
dx |
|
x 1 t |
|
|
|
|
3(t 1) 1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(x 1)2 9 |
|
x t 1 |
|
|
t 2 9 |
dt |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx dt |
|
|
|
|
|
|
3 d t 2 9 |
|
|||||
|
3t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||||
t 2 9 dt |
3 t 2 9 |
|
2 t 2 9 |
|
|
2 t 2 9 |
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
t |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 arctg |
|
|
2 ln |
|
t |
|
|
9 |
|
3 arctg |
|
|
C |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 ln |
|
x2 |
|
2x 10 |
|
2 arctg |
x 1 |
C |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование простейших |
|
|||||
дробей |
|
|
|
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
||
V x2 px q k |
dx |
x |
p |
t |
||
Интеграл данного типа с помощью подстановки: |
||||||
|
||||||
приводится к сумме двух интегралов: |
2 |
|
||||
t dt |
dt |
|
|
|
||
M t 2 a2 k |
N1 t 2 a2 k |
|
|
|
Первый интеграл вычисляется методом внесения t под знак дифференциала.
Второй интеграл вычисляется с помощью рекуррентной формулы:
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
1 |
|
2k 3 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
k |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
k 1 |
|||||||
|
a |
|
|
a |
|
2k 2 |
|
|
2(k 1)(t |
a |
) |
|
|||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|