Метод построения допустимого решения озлп

Сначала заметим, что систему ограничений (2) всегда можно записать так, чтобы все свободные члены уравнений b_i были отрицательными.

Запишем следующую систему m равенств

,

будем рассматривать как систему ограничений новой вспомогательной ОЗЛП. К старым переменным х₁,…,х_r мы добавляем m вспомогательных переменных .

Структура плана этой задачи задается вектором

Целевую. функцию вспомогательной ОЗЛП зададим так:

Обращаем внимание, что она выражена только через новые переменные.

Естественные ограничения имеют такой вид

; . (3д)

Решим задачу (1д), (2д), (3д).

Система (2д) записана так, что сразу ясно, что х₁…х_r являются свободными переменными, а являются базисными.

Мы сразу видим допустимое базисное решение этой задачи.

Оно имеет вид

.

Это значит, что «старые» переменные равны нулю. Допустимость решения, то есть выполнение условий (3д), следует из отрицательности всех b_i

Докажем теорему.

Исходная и вспомогательная ОЗЛП связаны так, что если исходная задача имеет допустимое решение, то вспомогательная задача имеет оптимальный план и в этом плане

.

.

Действительно, пусть существует допустимое решение основной задачи. Подставим ее компоненты х₁,…, х_r в (2д). Естественно, во всех уравнениях получим слева нули, то есть все -переменные в системе ограничений(2д) вспомогательной задачи.

Если к этим нулевым значениям -переменных мы добавим компонентых₁,…, х_r допустимого решения основной задачи, то получим допустимое решение вспомогательной задачи, поскольку выполняются условия (2д)и компоненты неотрицательны.

Это решение будет и оптимальным для вспомогательной задачи, так как целевая функция равна нулю (ибо все -переменные равны. нулю), а отрицательной она быть не может в силу условий (3д).

Теорема доказана.

Используем доказанную терему для решения первого поставленного вопроса: существует ли решение исходной ОЗЛП?

Для этого решим вспомогательную задачу, используя СМ. Возможны 2 случая.

1. Оптимальное значение целевой функции вспомогательной задачи равно нулю. Это означает, что у исходной задачи существует допустимое решение. Оно строится из x-компонент оптимального плана вспомогательной задачи. Действительно, подставив эти компоненты в систему (2) основной задачи, получим нули, так как все -переменные равны нулю из-за их неотрицательности и равенства нулю целевой функции (1д). Сами жеx-компоненты неотрицательны в силу условий (3д) для вспомогательной ОЗЛП.

2. Оптимальное значение целевой функции вспомогательной задачи положительно. В этом случае исходная ОЗЛП решения не имеет решения, так как это бы противоречило доказанной теореме.

Таким образом, мы умеем отвечать на вопрос, существует ли решение заданной ОЗЛП. Для ответа на него достаточно решить вспомогательную задачу. Если оптимальное значении ее целевой функции равно нулю, то заданная ОЗЛП имеет решение, если оно положительно, то заданная ОЗЛП имеет решения не имеет.

Пусть вопрос на первый вопрос положительный, то есть допустимое решение у исходной ОЗЛП существует. Как построить это допустимое решение?

Берем оптимальный план вспомогательной задачи и рассматриваем только х-компоненты этого плана. Очевидно, они и образуют искомое допустимое решение основной задачи (все они неотрицательны и при подстановке в уравнения (2) обращают их в тождества).