Основная теорема симплекс-метода

Если ОЗЛП имеет решение, то есть множество решений не пусто, то хотя бы одно из них является базисным.

Алгоритм симплекс-метода состоит из двух частей.

1. Построение какого-либо базисного решения

2. Шаг СМ, состоящий в переходе от одного базисного решения к другому, у которого целевая функция имеет меньшее значение. Такие шаги выполняется в цикле до тех пор, пока план уже нельзя улучшить.

Идея шага см

Пусть мы имеем некоторое базисное решение. Рассмотрим целевую функцию, выраженную через все переменные.

(1)

Используя формулы (2б), заменим в целевой функции базисные переменные через свободные переменные. Получим:

(1а)

Следует обратить внимание, что - это значение целевой функции на данном базисном решении. Действительно, все свободные переменные должны быть равны нулю.

Задача состоит в том, чтобы от данного базисного решения перейти к «лучшему».

Рассмотрим выражение (1а). В данном базисном решении все равны нулю. Чтобы изменить целевую функцию мы должны изменить значения свободных переменных. Проще всего взять и изменить только одну переменную, пусть это, тогда целевая функция примет вид:

.

Если , то изменениене приведет к уменьшению целевой функции. Поэтому нужно выбрать такую переменную, при которой. Если такихнет, то данное базисное решение является неулучшаемым и, следовательно, оптимальным.

Пусть все те же . Тогда с точки зрения значения целевой функции мы можем увеличитьбезгранично.

НО! Кроме (1а) и (2б) еще есть условие (3).

Мы имеем право увеличивать только до тех пор, пока какая- либо базисная переменная не достигнет нулевого значения. Если после этого продолжать увеличивать, то мы нарушим естественные ограничения (3).

Проследим, как изменяются базисные переменные, при увеличении . Имеем

(2в)

Увеличивая , мы изменим базисные переменные. Те из них, для которых коэффициент, будут уменьшаться. В конечном итоге такие переменные станут равными нулю, а потом и отрицательными. Из всех тех базисных переменных, для которыхмы должны выбрать ту, которая достигнет нуля первой.

Из (2в) следует j-ая базисная переменная проходит через ноль при .

Нужно выбрать такое j_0, при котором минимально, то есть .

Тогда максимально допустимое значение свободной переменной равно .

В результате этих действий нам удалось улучшить целевую функцию. Одновременно одна из базисных переменных, а именно .стала равна нулю. В новом базисном решениибудем считать свободной, а старую свободную переменнаях_r+i - базисной.

Для того, чтобы продолжить дальше нашу циклическую работу по улучшению плана нужно для нового набора базисных и свободных переменных иметь формулы вида (2б).

В старой формуле (2б) выделим уравнение, выражающее переменную :

Выразим из этого выделенного уравнения переменную .Это возможно, поскольку коэффициент <0.

Получим:

Последняя формула показывает следующее: чтобы получить новый вид (2б) нужно во все уравнения системы , кроме уравнения для, подставить вместох_r+i правую часть формулы , выразив таким образом все старые базисные переменные через новые свободные и добавить к полученнымr-1 уравнениям уравнение .

Далее необходимо выразить целевую функцию через новые свободные переменные. Для этого в формулу (1а) следует вместо х_r+i подставить правую часть формулы , а затем сгруппировать коэффициенты при новых свободных переменных.

Новый свободный коэффициент в этой формуле , т .е. значение целевой функции новом базисном решении, будет равен

.

Очевидно, что, поскольку и , то , то есть переход к улучшенному плану достигнут.

Шаги СМ можно проводить только после того, как имеется хотя бы одно допустимое базисное решение. Поэтому решение ОЗЛП следует начинать с решения следующих двух задач:

1. Необходимо выяснить существует ли вообще решение данной ОЗЛП.

2. Если решение первой задачи дает положительный ответ, необходимо построить исходное допустимое базисное решение.

Построение исходного базисного решения можно было бы строить так: определив ранг матрицы системы ограничений (2) и найдя какой-либо базисный минор, можно разрешить одни переменные (базисные) через остальные, которые становятся свободными. Тем самым мы автоматически разделили все переменные на свободные и базисные.

Правда, в этом случае мы могли бы получить базисное, но не допустимое. Тогда нам надо было бы выбирать базисный минор и выполнять описанные действия до тех пор, пока не получим базисное допустимое решение. Этот процесс для большого числа уравнений может быть очень трудоемким.

Однако существует метод, который может минимизировать расход ресурсов на решение этих 2-х поставленных задач.