6497 / 7. Приближение сплайнами и функциями Бернштейна-Безье

Интерполяция.

Напомним постановку задачи.

Рис. 1. Постановка задачи.

Дано: . i  . Построить функцию f(x), удовлетворяющую этому условию.

1. Ее решением будет, в частности, интерполяционный многочлен Лагранжа

; ;

Получаем непрерывную функцию (многочлен степени не выше N), проходящую через все точки.

Минусы:

1. Требует значительного объема вычислений для нахождения значения функции в произвольной точке.

2. Неопределенное поведение построенной функции между узлами, в частности можно привести следующие результаты:

1916г. Бернштейн :

1925г. Рунге :

Далее будем рассматривать интерполирующие функции, которые задаются отдельно на каждом отрезке , что позволяет лучше учитывать локальное поведение требуемой функции и избежать громоздких вычислений (так как на каждом из отрезков интерполирующая функция имеет по возможности простой вид).

2) Кусочно-линейная интерполяция

Рис. 2. Кусочно-линейная интерполяция.

Интерполяция следующей кусочно-линейной функцией: Класс

3) Кубическая интерполяция Эрмита

Рис. 3. Кубическая интерполяция Эрмита.

Пусть заданы следующие условия: , тогда для каждого i будем искать искомую функцию в виде. Подставив эту функцию в уравнения условий получим линейную невырожденную систему из 4 уравнений с 4 неизвестными (a,b,c и d), т.е. решение существует и единственно. Класс

Проблемы:

1. Непонятно откуда брать значения производных.

2. Хотелось бы , а не только

4) Сплайны

Сплайн - кусочный полином степени K с непрерывной производной порядка K-1 в точках соединения сегментов.

Далее нас будут интересовать кубические сплайны.

Понятие сплайна пришло из машиностроения, где сплайном называли гибкую линейку, закрепив которую в нужных местах, добивались плавной кривой, которую затем чертили по этой линейке (см. Рис. 4) Форма такой линейки, если ее рассматривать как функцию y(x), будет удовлетворять уравнению Эйлера-Бернулли: ,где M(x) - момент изгиба вдоль рейки, E - модуль Юнга. зависящий от свойств материала рейки, I - момент инерции, определяемый формой кривой. Если мы фиксируем некоторые точки подпорками, то момент изгиба на каждом отрезке меняется по линейному закону: M(x) = A*x + B , подставляя в исходное уравнение получаем: , дважды интегрируя получаем уравнение кривой на данном

Рис. 4. Сплайн.

отрезке: ; таким образом форма физического сплайна описывается кусочным кубическим полиномом. Теперь рассмотрим задачу построения системы таких кубических полиномов для всего отрезка

1. Для N отрезков имеем 4N коэффициентов: для ;

2. Условия ( i  ) дают 2N уравнений;

3. Требование в точках ( i  ) дает N-1 уравнений;

4. Требование в точках ( i  ) дает N-1 уравнений.

Итого имеем 4N-2 уравнения; для того чтобы система была определенной, необходимы еще 2 уравнения; их можно вывести, например, из заданных значений производных на границах или или из условия периодичности. При корректно заданных условиях линейная относительно система имеет единственное решение.

Аппроксимация.

1) Кривые Безье

В настоящее время для задач аппроксимации наиболее широко применяются кривые Безье. Это связано с их удобством как для аналитического описания, так и для наглядного геометрического построения (применительно к компьютерной графике это означает, что пользователь может задавать форму кривой интерактивно, т.е. двигая опорные точки курсором на экране ).

Наглядный метод построения этих кривых был предложен de Casteljau в 1959 году. Построим кривую по 3 опорным точкам (Рис. 5). Метод de Casteljau основан на разбиении отрезков, соединяющих исходные точки в отношении t (значение параметра), а затем в рекурсивном повторении этого процесса для полученных отрезков.

Рис. 5. Кривая Безье с 3 опорными точками.

Обозначим опорные точки как ,, начало кривой положим в точке (t=0), а конец в точке (t=1), для каждого найдем точку , таким образом, получим кривую второго порядка.

Теперь постоим аналогичным методом кривую Безье с 4 опорными точками.

Рис. 6. Кривая Безье с 4 опорными точками.

Можно продолжать подобные построения и для большего числа узлов, получая аналогичные выкладки. Запишем общее аналитическое представление для кривой Безье с N+1 опорной точкой:

, где , где - биномиальные коэффициенты,

называются базисными многочленами Бернштейна n степени (а также весовыми функциями Безье/Бернштейна). На рисунках ниже изображены многочлены Бернштейна 3 и 4 степеней

Рис. 7. Базисные функции Бернштейна для кривой Безье с 3 опорными точками.

Рис. 8. . Базисные функции Бернштейна для кривой Безье с 4 опорными точками.

Свойства кривых Безье

1) Инвариантность относительно аффинных преобразований;

2) Инвариантность относительно линейных замен параметризации;

3. Кривая Безье принадлежит выпуклой оболочке опорных точек (следует из геометрического способа построения);

Следствие: Если все опорные точки лежат на одной прямой, то кривая Безье вырождается в отрезок, соединяющий эти точки.

4) Кривая Безье проходит через и ;

5) Симметричность: если рассматривать контрольные точки в противоположном порядке, то кривая не измениться;

6) Степень многочлена, представляющего кривую в аналитическом виде на 1 меньше числа опорных точек;

7) Векторы касательных в точках и коллинеарны и ,соответственно.

Замечание:

Хотя все выкладки проводились в , аналогичные построения и свойства справедливы и в .