6497 / 4. Теорема Бореля, альтернанс
.doc
Теоремы о равномерном приближении функций на отрезке.
Рассмотрим более подробно задачу второго типа:
, ,
многочлен n-ой степени,
найденный многочлен наилучшего равномерного приближения.
Сложность в том, что данное нормированное пространство C[a,b] не является гильбертовым, т.к. в нем не определено скалярное произведение (хотя оно ‑ полное, нормированноебанахово).
Поэтому не работают те теоремы существования и единственности, которые естественным образом доказываются в гильбертовом пространстве (например, в ). Эти теоремы необходимо передоказать.
Теорема 1 (Э.Борель).
Пусть линейно независимая при система непрерывных на [a,b] функций;
“обобщённый” полином n-ой степени по данной системе.
такой набор коэффициентов что многочлен является наилучшим равномерным приближением функции f(x) на [a,b].
Обозначим
.
В силу свойств нормы функция - непрерывная функция своих аргументов.
Действительно, согласно неравенству треугольника для нормы
Оценивая обе части неравенства по модулю, получаем:
Положим
Последнее неравенство и доказывает непрерывность функции (с0,…, сn) при fC[a,b].
Запишем тождественно:
(1)
Если , то из (1) . Поэтому для поиска минимального элемента достаточно рассматривать лишь такие , которые удовлетворяют условию
, или . (2)
Используем неравенство Коши-Буняковского:
. (3)
В силу непрерывности на [a,b], существует
.
Подставляя (3) в (2)
(4)
Неравенство (4) определяет так называемый замкнутый шар в пространстве коэффициентов .Так как непрерывна в замкнутом шаре по теореме Вейерштрасса достигает своего минимального значения набор , такой что наилучшее равномерное приближение для f(x).
В дальнейшем более подробно будем рассматривать случай
.
т.е. будем искать равномерное приближение непрерывной функции f(x) на [a,b] алгебраическим многочленом n-ой степени.
Сформулируем основную Теорему Чебышева – критерий наилучшего равномерного приближения.
Теорема 2.(Чебышева).
Чтобы многочлен был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной на [a,b] функции f(x) необходимо и достаточно существование на [a,b] по крайней мере (n+2)- точек , таких что
, (5)
,
одновременно для всех i.
Другими словами: равенство (5) устанавливает следующее свойство разности в указанных точках:
1)меняет знак последовательно в каждой точке {},
2)принимает одно и то же максимальное по модулю значение, равное
.
Без доказательства
Определение.
Точки , удовлетворяющие условию теоремы называются точками Чебышевского альтернанса.
Определение.
Многочлен , решающий задачу наилучшего равномерного приближения называется наилучшим T-приближением для f(x) на [a,b].(от немецкой транскрипции фамилии Чебышева: Tchebyscheff).
Теорема 3.
Многочлен , являющийся наилучшим Т-приближением –единственен.
От противного.
Обозначим
.
Пусть существуют два многочлена наилучшего Т-приближения и , :
Рассмотрим норму разности:
многочлен имеет ту же степень n и является наилучшим T-приближением.
Пусть - точки Чебышевского альтернанса для этого многочлена
,
или, запишем иначе:
. (6)
Но так как и - два наилучших Т-приближения
и , (7)
так как -максимально возможное отклонение для и . Из (6) и (7)
, т.е. многочлены и - совпадают в (n+2)-х точках, что невозможно, поскольку они n-ой степени и по предположению не совпадают тождественно. Полученное противоречие доказывает теорему.
Пояснение.
Условия (6) и (7) запишем в абстрактной форме:
графически
только две точки пересечения |
Теорема 4.
Пусть , причем на [a,b] ровно (n+2) экстремальные точки для разности , где - наилучшее Т-приближение для f(x), причем концевые точки отрезка a и b – принадлежат к числу точек альтернанса.
Обозначим .
По теореме об альтернансе по крайней мере (n+2) точки , в которых меняет знак и достигает своего максимального по модулю значения .
Пусть этих точек будет больше чем (n+2).Найдется такая константа C, что разность обратится в нуль, по крайней мере, в (n+2) точках. Отсюда по теореме Ролля обратилась бы в нуль, по крайней мере, в одной точке, что противоречит условию теоремы.
Получено противоречие с утверждением, что точек альтернанса больше, чем (n+2).
Предположим, что концевые точки отрезка a и b - не являются точками альтернанса, следовательно, как и в предыдущем случае найдется такая константа C, что уравнение будет иметь (n+2) корня тот же вывод, что и выше противоречиерезультат
Графическая иллюстрация.
Изобразим график для случая n=2. Пусть концы отрезка a и b не входят в число точек альтернанса.
|
Из рисунка видно, что нашлась такая константа С, что прямая y=C пересекает график в 4-х точках. Отсюда по теореме Ролля точка (a,b): f(3)()=0.
Пример 1.
. Найти наилучшее Т-приближение, многочленом нулевой степени.
n=0, . Заметим, что достаточные условия, сформулированные в теореме 4, могут не выполнятся, например, для функции, изображенной на рисунке:
В точке - точка локального экстремума, тем не менее, достаточно иметь ровно 2 точки альтернанса. |
Пусть
и - точки чебышевского альтернанса
- легко проверить выполнение условий теоремы 2
Пример 2.
и строго выпукла вверх. Найти наилучшее Т-приближение многочленом 1-го порядка.
n=1,.
Применим геометрический метод решения.
Так как условия теоремы 4 выполнены, то и остается найти одну точку . Искомая точка -точка, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна хорде, соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b)) искомая прямая проходит посередине между касательной и хордой. |