Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

Кафедра прикладной физики.

Лабораторная работа №3.

Выполнил: студент I курса

группы УИТ-12

Смирнов Е. В.

Саратов 2002

Длина свободного пробега.

Цель работы: изучение явлений переноса в газах; экспериментальное определение коэффициента динамической вязкости, средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул.

Теоретические сведения.

Длиной свободного пробега молекулы называется путь, пройденный ею между двумя последовательными столкновениями её с другими молекулами. Эта величина меняется при каждом столкновении, поэтому говорят о средней длине свободного пробега <>.

Для определения нужно разделить весь путь, пройденный молекулой за 1 с и численно равный её средней арифметической скорости, на среднее значение столкновений <z>, испытываемых молекулой за секунду:

Если считать, что молекулы газа представляют собой упругие шарики радиуса r, то минимальное расстояние D, на которое молекулы сблизиться их центры, не может быть меньше 2r. Это расстояние D называется эффективным диаметром молекулы. Будем считать, что молекулы взаимодействуют лишь при непосредственном столкновении по законам упругих шаров. Определим число соударений <z>, испытываемое молекулой за 1 с. Будем считать, что все остальные молекулы не подвижны. Данная молекула столкнётся только с теми молекулами, центры которых попадают внутрь ломанного цилиндра радиуса D. Спрямляя этот цилиндр, получим незначительную ошибку при подсчёте его объёма, так как длина его участков гораздо больше диаметра: >>D. Высота цилиндра <>. Если концентрацию молекул обозначить за n, то:

При учёте движения других молекул получится:

Так как для идеального газа P = nkT, эффективный диаметр молекул идеального газа в соответствии с (1) можно находить по формуле:

,

где k – постоянная Больцмана, Р – давление газа, а Т – его температура.

Если в газе присутствует пространственная неоднородность плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоёв газа, то движение молекул выравнивает эти неоднородности – при этом в газе происходит явление переноса массы (диффузия). Теплопроводность – перенос энергии, внутреннее трение – перенос количества движения. Перенос массы, энергии и количества движения всегда происходит в направлении, обратном их градиенту; при этом система приближается к состоянию термодинамического равновесия. Эти процессы описываются уравнением:

где  - любая физическая характеристика, которую переносят молекулы,

N – число молекул, участвующих в явлении,

S – размер площадки, через которую происходит перенос,

n – концентрация молекул,

t – время переноса.

Отношение является модулем градиента величины (n) и характеризует быстроту изменения этой величины на единицу длины в направлении, перпендикулярном к площадке . На рис.1 количество (n) убывает в положительном направлении ОХ; оно равно (n)₁ слева от площадки и (n)₂ справа от неё.

В случае диффузии переносимой физической характеристикой является масса и  = m₀ – массе молекулы; для теплопроводности  = , где  – энергия теплового движения молекул.

В случае трения переносимой физической величиной является импульс молекулы  = m₀U. Поскольку концентрация молекул n газа одинакова во всём его объёме, можно записать:

Кроме того, – это изменение импульса одного слоя относительно другого за время . Т. к. изменение импульса равно импульсу действующей силы, то , где F – сила взаимодействия между слоями газа, действующая в плоскости их соприкосновения(сила внутреннего трения). Уравнение (3) примет вид:

Сравнивая эту формулу с эмпирически полученным выражением для силы внутреннего трения (законом Ньютона)

получаем выражение для коэффициента динамической вязкости :

Если нижний диск начинает вращаться с угловой скоростью , то через некоторое время начинает двигаться и верхний диск за счёт сил внутреннего трения воздуха. Примем вращающий момент на площадке dS, созданный силой внутреннего трения dF равным:

Используя выражение (5) и подставляя в него , получим выражение для закручивающего момента, действующего на площадку dS:

Вблизи диска молекулы имеют скорость U = r. Тогда:

Подставив (9) в (8), рассчитаем полный закручивающий момент для верхнего диска путём интегрирования по d, dr в пределах от 0 до 2 и от 0 до R соответственно:

При небольшом угле закручивания М = ₀. Поэтому из формулы (10) с учётом того, что  = 2, где  – частота вращения, для коэффициента динамической вязкости получим:

,

где h – расстояние между дисками, R – радиус диска,  – коэффициент упругости пружины, ₀ – угол закручивания верхнего диска. Учтём уравнение Менделеева-Клапейрона: m/V = P/(RT), где  = 0,029 кг/моль – молярная масса воздуха, среднюю арифметическую скорость молекул:

Окончательно длина свободного пробега:

I. Результаты, полученные в опыте и стандартные данные.

Напряжение двигателя, В	2,8	3	4,4	5,8	8	8,4	9,6
Угол поворота, 	2	5,1	8	15	23	25	28

R_дис. = 6,510^-2 м; h = 210^-3 м;  = 4,4310^-6 Нм/град.

II. Определение коэффициента вязкости .

По (11):

III. Определение <> и D.

Тогда по (12):

Используя формулу (2), имеем:

IV. Расчёт погрешностей.

Выводы.

Опытным путём мы изучили явления переноса в газах, определили коэффициент динамической вязкости, эффективный диаметр молекул и среднюю длину их свободного пробега.

 = (1,1 ± 0,45) 10^-4 кг/м с.

D = (1,5 ± 0,3) 10^-21 м.

 = (5,96 ± 2,43) 10^-7

В опыте получилась высокая погрешность. Это связано с тем, что, измеряя угол поворота при малой частоте вращения движущая сила незначительно превышает силу трения. Вследствие этого в идеале линейная зависимость угла поворота верхнего диска от частоты вращения нижнего становится параболической. Причём, чем меньше частота вращения, тем больше эта зависимость отклоняется от идеального значения.