prim-8

RyA q b F 2 3 10 4 кН

Т.к. числовое значение реакции получилось отрицательное, следовательно реакций RyА направлена противоположно поставленной на схеме.

- исходя из условия - сумма моментов относительно любой точки равняется 0 (уравнение 3), составим уравнение относительно опоры:

МА 0

Mизг M q b a b F a b c 0

2

2 Построение эпюры поперечных сил Q

Для построения эпюр, используем метод сечений. Разбиваем балку на три участка (a, b, c).

Рисунок 4

Участок a. Проводим сечение I-I на расстоянии z1; 0 z1 a от левого конца балки. Правую часть балки откидываем, левую зарисовываем, добавляя при этом, поперечную силу Q1 (согласно правила знаков) – рисунок 5 а.

z3є(0;b)

в)

Рисунок 5

Рассмотрим равновесие левой части балки. Поперечную силу в искомом сечении находим используя уравнение равновесия (2).

RyA Q1 0

отсюда

QI RyA 4 кН

Строим участок эпюры (рисунок 6, эпюра Q).

Рисунок 6 – Схема и эпюры

Участок с. Проводим сечение II-II на расстоянии z2; 0 z2 c от правого конца балки. Левую часть балки откидываем, правую зарисовываем, добавляя при этом, поперечную силу Q2 (согласно правила знаков) – рисунок 5 б.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Поперечную силу в искомом сечении находим, используя уравнение равновесия (2).

F Q2 0

отсюда

Q2 F 10 кН.

Эпюра на участке с – прямая с ординатой -10кН (рисунок 6).

Участок b. Проводим сечение III-III на расстоянии z3; 0 z3 b от правого конца балки. Левую часть балки откидываем, правую зарисовываем, добавляя при этом, поперечную силу Q3 (согласно правила знаков) – рисунок 5 в.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Поперечную силу в искомом сечении находим, используя уравнение равновесия (2).

Q3 F q z3 0

отсюда

Q3 q z3 F кН.

при z3=0

Q2 q z3 F 2 0 10 10 кН.

при z3=b=3 м

Q2 q z3 F 2 3 10 6 10 4 кН.

Эпюра на участке b – прямая направленная под углом. Правая ордината - 10 кН, левая ордината -4 кН (рисунок 6).

Проверки эпюры поперечных сил (рисунок 6):

На балке имеются 2 сосредоточенные силы RyA, F. На эпюре поперечных сил имеются скачки в точках приложения, равные по значению и направленные в сторону рассматриваемых сил.

Эпюра имеет наклон только на участке b, где имеется распределенная нагрузка. В остальных случаях эпюра параллельна нулевой линии.

3 Построение эпюры изгибающих моментов.

Для построения используем те же участки что и при рассмотрении эпюры поперечных сил.

Участок a. Сечение I-I на расстоянии z1; 0 z1 a. Добавляем, изгибающий момент M1 (согласно правила знаков) – рисунок 5 а.

Рассмотрим равновесие левой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим используя уравнение равновесия 3, относительно центра тяжести сечения c1.

Mc1 0 RyA z1 Mизг M1 M1 RyA z1 Mизг

Уравнение прямой линии. Для построения достаточно найти две точки. при z1=0

M1 RyA z1 Mизг 4 0 65 65кН

при z1=а=3,5 м

Ставим на эпюре две точки и соединяем прямой.

Участок b. Сечение II-II на расстоянии z2; 0 z2 ñ. Добавляем, изгибающий момент M2 (согласно правила знаков) – рисунок 5 б.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим используя уравнение равновесия 3, относительно центра тяжести сечения c2.

Mc2 0 F z2 M2 M2 F z2

Уравнение прямой линии. Для построения достаточно найти две точки. при z2=0

M2 F z2 10 0 0 кН∙м

при z2=с=2,5 м

M2 F z2 10 2,5 25 кН∙м

Ставим на эпюре две точки и соединяем прямой.

Участок b. Сечение III-III на расстоянии z3; 0 z3 b Добавляем, изгибающий момент M3 (согласно правила знаков) – рисунок 5 г.

Рассмотрим равновесие правой части балки. Искомый изгибающий момент в сечении находим, используя уравнение равновесия 3, относительно центра тяжести сечения c3.

Получили уравнение параболы. Для ее приближенного построения достаточно найти значения момента в трех точках: начало, конец и середина (в случае если имеется вершина параболы, то обязательно ее построение).

при z3=0

при z3=b/2=1,5 м (т.к. нет пересечений эпюры поперечных сил на участке b, следовательно вершины – нет).

Отложив вычисленные значения изгибающих моментов, проведем через них параболу.

Проверки эпюры изгибающих моментов (рисунок 6):

на эпюре имеются два сосредоточенных момента. В этих местах на эпюре имеются скачки численно равные величинам моментов;

эпюра представляется виде прямой линии, за исключением участка b, где приложена распределенная нагрузка. На этом участке, эпюра виде параболы;

эпюра поперечных сил меньше нуля на всех участках, а следовательно эпюра моментов на всех участках убывает.

4 Подбор оптимального сечения

Максимальный изгибающий момент (исходя из эпюры) Mmax 65кН м. Требуемый момент сопротивления остальной двутавровой балки

Для круглого сечения:

d3

Wx 32

Отсюда

d 3 Wx 32 3 433 32 16,399см

Принимаем d=164 мм.

Примеры с ответами

2 Кручение

Пример № 1

Дано:

К стальному ступенчатому валу (рисунок 1), имеющее сплошное поперечное сечение, приложены четыре крутящих момента: T1 6кН∙м, Т2 3 кН∙м, Т3 1,5 кН∙м, Т4 0,5 кН∙м. Модуль сдвига G 8 104 МПа Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец – свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца. Длины участков ℓ1=ℓ2=1,5 м, ℓ3=ℓ4=2 м. Требуется:

-Построить эпюру крутящих моментов по длине вала;

-При значении допускаемого напряжения на кручение [ ] 50МПа

определить диаметры d1 и d2 вала из расчета на прочность;

-Построить эпюру действительных напряжений по длине вала;

-Построить эпюру углов закручивания.

Рисунок 1

Решение:

1 Эпюра крутящих моментов

Применяя метод сечения, определим крутящие моменты в текущих сечениях вала I-I, II-II и т.д. (знаки крутящих моментов взяты согласно правила знаков рисунок 2):

Рисунок 2

на участке ℓ4:

Tкр1 T4 0,5 кН∙м;

на участке ℓ3:

Tкр2 T3 T4 1,5 0,5 1,0 кН∙м;

на участке ℓ2:

Tкр3 Т2 Т3 Т4 3 1,5 0,5 2,0 кН∙м;

на участке ℓ1:

Tкр4 Т1 Т2 Т3 Т4 6 3 1,5 0,5 4,0 кН∙м.