Критерий подобия двух числовых матриц
Пусть
дана матрица 
с
числовыми элементами из поля K.
Ее характеристическая матрица 
является
λ-матрицей ранга n и
потому имеет n инвариантных
многочленов
.
(18)
Теорема
Для
того чтобы две матрицы 
и 
были
подобны
,
необходимо и достаточно, чтобы они имели
одни и те же инвариантные многочлены,
или, что то же, одни и те же элементарные
делители в поле K.
Доказательство
Условие необходимости. Действительно, если матрицы A и B подобны, то существует такая неособенная матрица T, что
.
(19)
Отсюда
.
(20)
Это
равенство показывает, что характеристические
матрицы 
и
эквиваленты
и потому имеют одни и те же инвариантные
многочлены.
Условие
достаточности. Пусть характеристические
матрицы 
и
имеют
одни и те же инвариантные многочлены.
Тогда эти λ-матрицы
эквивалентны, и, следовательно, существуют
две многочленные матрицы Р(λ) и Q(λ) такие,
что
.
(21)
Мы можем в тождестве (21) заменить λ-матрицы Р(λ) и Q(λ) постоянными матрицами P и Q:
,
(22)
причем
в качестве P и Q можно
взять соответственно левый и правый
остатки от деления 
и Q(λ) на 
,
то есть можно положить:
.
(23)
Приравнивая в обеих частях равенства (22) коэффициенты при нулевой и при первой степенях λ, получим:
,
(24)
то есть
,
где
.
Теорема доказана.
Жорданова матрица
Определение
Жордановой матрицей называется квадратная блочно-диагональная матрица над полем K, с блоками вида
(25)
при
этом каждый блок 
называется жордановой
клеткой с собственным
значением λ (собственные
значения в различных блоках могут
совпадать).
Для произвольной квадратной матрицы А над алгебраически замкнутым полем К (например, полем комплексных чисел К=С) всегда существует квадратная невырожденная (т.е. обратимая, с отличным от нуля определителем) матрица С над К, такая, что
(26)
является жордановой матрицей. При этом матрица J называется жордановой формой (или жордановой нормальной формой) данной матрицы A. В этом случае также говорят, что жорданова матрица J в поле K подобна (или сопряжена) данной матрице A. И наоборот, в силу эквивалентного соотношения
(27)
матрица A подобна в поле K матрице J. Нетрудно показать, что введённое таким образом отношения подобия является отношением эквивалентности и разбивает множество всех квадратных матриц заданного порядка над данным полем на непересекающиеся классы эквивалентности.
Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две жордановы матрицы подобны над полем K в том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали.