Лекция№ 3-4 Подстановки

Определение. Всякое взаимно однозначное отображение множества А первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-й степени, причем, очевидно, всякая подстановка А может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой

(1)

Через α_i здесь обозначается то число, в которое при подстановке А переходит число i , i = 1, 2, …, n.

Запишем одну под другой две перестановки из n символов, беря полученные две строки в скобки; например, n=5:

Мы скажем, что число 3 переходит в число 5, число 5 переходит в 2, число 1 переходит в 3, число 4 переходит в 4(или остаётся на месте), и, наконец, число 2 переходит в 1. Таким образом, две перестановки, записанные друг под другом в виде (2), определяют некоторое взаимно однозначное отображение множества из первых пяти натуральных чисел на себя, т. е. отображение, которое каждому из натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 ставит в соответствие одно из этих же натуральных чисел, причем разным числам ставятся в соответствие различные же числа.

Ясно, что то взаимно однозначное отображение множества их первых пяти натуральных чисел, которые мы получили при помощи (2), можно было получить, записывая одну под другой и некоторые другие пары перестановок из пяти символов. Эти записи получаются из (2) путем нескольких транспозиций (перестановок) столбиков; таковы, например,

Во всех этих записях 3 переходит в 5, 5 в 2 и т. д.

Подстановка А обладает многими различными записями вида (1). Так, (2) и (3) являются различными записями одной и той же подстановки 5-й степени.

Канонический вид подстановки

В частности, всякая подстановка n-й степени А может быть записана в каноническом виде

(4)

т. е. с натуральным расположением чисел в верхней строке. При такой записи различные подстановки отличаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке.

Примером подстановки n-й степени служит тождественная подстановка

,

при котором на месте остаются все символы.

Замечание. Следует заметить, что верхняя и нижняя строки в записи (1) подстановки А играют разные роли и, переставив их, мы, вообще говоря, получаем другую подстановку.

Цикловая структура подстановки

Подстановка вида

(При этом все числа i₁, i₂, …, i_m - различны)

называется циклом длины m.

Для циклов вводят специальное обозначение:

Пример 1.

Цикл (2 3 4 1) действует следующим образом

Циклы, не содержащие общих элементов называются независимыми(непересекающимися).

Теорема. Каждую подстановку можно разложить в произведение независимых циклов. Это разложение единственно с точностью до порядка циклов.

Алгоритм составления цикла:

1.Берем подстановку, смотрим, во что переходит первый элемент.

2.Полученный элемент пишем за первым элементом и находим его образ под действием подстановки.

3. Как только образ совпадает с элементом, с которого началось построение цикла, закрываем цикл.

4. Дальше берем любой элемент, не входящий в уже выписанные циклы и начинаем построение нового цикла.

Пример 2.

Разложить подстановку

в произведение независимых циклов.

Решение.

Так как , то получаем цикл (135). Цепочка 2→4→2 дает транспозицию (24). Так же 6→8→6 дает транспозицию (68). 7 остается на месте.

Ответ: