Знак подстановки

Говорят, что в данной строке элементы i и j составляют инверсию, если i > j, но i стоит в этой строке раньше.

(5 3 4 1 2) – число 5 образует 4 инверсии. Общее число инверсий в строке равно 8.

Знак подстановки

равен (-1)^a, где а – число инверсий в строке (α₁, α₂, …, α_n)

Пример 3.

Определить знак подстановки

Решение.

Число инверсий в строке (3 4 5 2 1 8 7 6) равно 2+2+2+1+0+2+1=10

так как (-1)¹⁰=1, то данная подстановка является четной.

Знак подстановки можно определить и другим способом. Для этого надо разложить подстановку в произведение независимых циклов.

b = (k₁-1)+(k₂-1)+…+(k_l-1)=k₁+k₂+…+k_l-S, (5)

где k₁ , k₂ , …, k_l – длины циклов.

Тогда знак равен (-1)^b

Пусть дана подстановка n-й степени и пусть s есть число независимых циклов в её разложении плюс число символом, оставляемых ею на месте. Разность n – s называется декрементом этой подстановки. Декремент равен числу действительно перемещаемых символов, уменьшенному на число независимых циклов, входящих в разложение подстановки и равносилен b в формуле (5).

Замечание. Четность подстановки совпадает с четностью декремента этой подстановки.

Пример 4.

Определите знак подстановки

с помощью разложения подстановки в произведение независимых циклов.

Решение.

Данная подстановка раскладывается следующим образом в произведение независимых циклов.

b = 3+2+2+1–4 = 4

(-1)⁴ = 1

Это четная подстановка.

Умножение подстановок

Определение. Произведением первой подстановки на вторую называют последовательное выполнение двух подстановок n-й степени, приводящее к некоторой вполне определенной третьей подстановке n-й степени.

так, если даны подстановки четвертой степени

то

Действительно, при подстановке А символ 1 переходит в 3, но при В символ 3 переходит в 4, поэтому при АВ символ 1 переходит в 4, и т. д.

Можно перемножить лишь подстановки одинаковой степени. Умножение подстановки n-й степени при n ≥ 3некоммутативно. Действительно, для рассмотренных выше подстановок А и В произведение ВА имеет вид

т. е. подстановка ВА отлична от подстановки АВ. Такие примеры можно подобрать для всех n при n ≥ 3, хотя для некоторых пар подстановок закон коммутативности случайно может выполняться.

Умножение подстановок ассоциативно, т. е. можно говорить о произведении любого конечного числа подстановок n-й степени, взятых (ввиду некоммутативности) в определенном порядке. В самом деле, пусть даны подстановки А, В и С и пусть символ i₁, 1 ≤ i₁ ≤ n, переходит при подстановке А в символ i₂, i₂при подстановке В переходит в символ i₃, а последний при подстановке С – в символ i₄. Тогда при подстановке АВ символ i₁ переходит в i₃, при подстановке ВС символ i₂ переходит в i₄, а поэтому как при (АВ)С, так и при А(ВС) символ i₁ ,будет переходить в символ i₄.