- •Часть 3. Динамика Введение в динамику
- •Глава 1. Динамика мт
- •1.1. Законы (аксиомы) динамики мт Закон инерции
- •Основной закон динамики
- •Закон равенства действия и противодействия
- •Закон независимости действия сил
- •Системы основных единиц
- •1.2. Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной мт
- •1.3. Две основные задачи динамики мт
- •1.3.1. Первая (прямая) задача динамики мт
- •1.3.2. Вторая (обратная) задача динамики мт
- •1.4. Алгоритм решения первой и второй задач динамики мт – схема алгоритма д14 озд с комментариями и примерами
- •Комментарии
- •Пример 1
- •1.5. Колебательное движение мт
- •1.5.1. Уравнение колебательного движения мт
- •1.5.2. Колебательное движение мт в среде без сопротивления при отсутствии возмущающей силы
- •1.5.3. Колебательное движение мт в среде с сопротивлением при отсутствии возмущающей силы
- •1.5.4. Колебательное движение мт в среде без
- •1.5.6. Колебательное движение мт в поле силы тяжести, в среде с сопротивлением под действием возмущающей силы
- •1.6. Общие теоремы динамики мт
- •1.6.1. Теорема об изменении количества движения мт
- •1.6.2. Теорема об изменении момента количества движения мт
- •1.6.3. Теорема об изменении кинетической энергии мт, работа силы
- •1.7. Принцип Даламбера для мт
1.6. Общие теоремы динамики мт
1.6.1. Теорема об изменении количества движения мт
Основной закон динамики (1.1) можно представить в виде:
(1.29)
Здесь – элементарный импульс силы, действующей на МТ.
Соотношение (1.29) выражает теорему об изменении количества движения МТ в дифференциальной форме.
Теорема: Дифференциал количества движения МТ равен элементарному импульсу силы, действующей на МТ.
Проинтегрировав соотношение (1.29) с учетом начальных условий: при t = 0 , получим эту теорему в конечной интегральной форме:
. (1.30)
В (1.30) называется импульсом силы за конечный промежуток времени:
. (1.31)
Теорема: Изменение количества движения МТ за конечный промежуток времени равно импульсу силы, действующей на МТ за тот же промежуток времени.
Проектируя на оси декартовой системы координат равенство (1.30), получим эту теорему в скалярной форме:
,
, (1.32)
,
где Sx, Sy, Sz – проекции импульса силы на оси декартовой системы координат.
Теорема: изменение проекции количества движения МТ на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось импульса силы, действующей на МТ за тот же промежуток времени – соотношение (1.32)
Следствия: если =0, то, т. е. МТ движется таким образом, что ее скорость остается постоянной;
если Fx=0, то Vx = V0х, т. е. МТ движется таким образом, что проекция ее скорости на ось х остается постоянной.
Первое из полученных соотношений находится в полном соответствии с первым законом динамики – законом инерции и подтверждает, что при отсутствии силы МТ движется равномерно и прямолинейно.
1.6.2. Теорема об изменении момента количества движения мт
Умножим векторно слева обе части основного закона динамики – соотношение (1.1) на радиус-вектор (рис. 11):
Рис. 11
(1.33)
Преобразуем левую часть, представив ее в виде тождества:
(так как , то).
Соотношение (1.33) примет вид:
. (1.34)
Введя обозначение момента количества движения МТ относительно центра О через вектор , получим:
. (1.35)
Соотношение (1.34) с учетом (1.35) и того, что его правая часть есть момент силы относительно центра О: , примет вид:
.(1.36)
Соотношение (1.36) выражает теорему об изменении момента количества движения МТ в векторной форме.
Теорема: Производная по времени от момента количества движения МТ относительно какого-либо центра равна моменту силы, действующей на МТ, относительно того же центра.
Проектируя равенство (1.36) на оси декартовой системы координат, получим эту теорему в скалярной форме:
,
, (1.37)
.
Здесь Ox, Oy,Oz – проекции момента количества движения МТ на оси декартовой системы координат (моменты количества движения МТ относительно координатных осей), а momOx, momOy,momOz – моменты силы относительно координатных осей.
Теорема: Производная по времени от проекции момента количества движения МТ на какую-либо ось равна моменту силы, действующей на МТ, относительно той же оси – соотношение (1.32)
Следствия: если , то, т. е. МТ движется таким образом, что момент количества движения МТ остается постоянным;
если , то, т. е. МТ движется таким образом, что проекция момента количества движения МТ на ось х остается постоянной.
Первое из полученных соотношений представляет собой закон сохранения момента количества движения МТ.