Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Результант

.doc
Скачиваний:
57
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
154.62 Кб
Скачать

Лекция № 23

Результант

Результантом полиномов

и ,

имеющих степени n>0 и m>0 называют следующий определитель порядка (n+m):

(1)

Например,

Здесь определитель записан при n=5, m=3. Определитель (1) записан для случая, когда n=m.

Теорема.

Полиномы

,

имеют общий корень тогда и только тогда, когда их результант равен 0: R(f(x),g(x))=0.

Пример 1.

Для полиномов

и

их результантом является определитель 6-го порядка

.

Во втором определителе третья и пятая строки одинаковы.

Пример 2.

Вычислить, при каких значениях полиномы

и

имеют общие корни.

Решение.

Вычисляем результант:

.

f(x) и g(x) имеют общие корни лишь в случае, когда 0, то есть при λ=±1. При λ=1 общими корнями являются i и –i, а при λ= –1: 1 и –1.

Пример для самостоятельного решения.

Вычислить результант многочленов и .

Дискриминант многочлена

Определение.

Дискриминантом многочлена

,

имеющего корнями числа , называется произведение

.

Дискриминант тогда и только тогда равен нулю, когда среди корней многочлена имеются равные, то есть когда многочлен имеет хотя бы один кратный корень. Дискриминант связан с результантом многочлена f(x) и его производной f'(x) равенством

,

позволяющей выразить дискриминант через его коэффициенты.

Пример 3.

Найти дискриминант многочлена

.

Решение.

.

.

, f(x) кратных корней не имеет.

Пример для самостоятельного решения

Найти дискриминант многочлена

.

Можно выразить через коэффициенты многочлена и другим путем, пользуясь тем, что является симметрическим многочленом от корней .

Формулы Виета

Корни многочлена

связаны с его коэффициентами по формулам Виета:

Элементарные симметрические многочлены от n переменных:

Степенными суммами называются симметрические многочлены

С элементарными симметрическими многочленами они связаны формулами Ньютона:

при ;

при .

Из этих формул можно находить через или наоборот.

, где

- сумма i-х степеней корней многочлена .

Пример.

Найти дискриминант многочлена .

Решение.

, , .

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

а) найти дискриминант многочлена

б)

5

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]