УМК ЧЕЛНОКОВОЙ С.В. СТАТИСТИКА

зуют интенсивность изменения от периода к периоду в пределах изучаемого промежутка времени.

Абсолютный прирост (сокращение) характеризует размер увели-

чения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Представляет собой разность последующего и либо предшествующего, либо базисного уровня. Выражается в тех же единицах измерения, что и уровни ряда.

∆ц= Уi – Уi-1 ∆б = Уi – У0

Цепные и базисные абсолютные приросты связаны между собой: сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна последнему базисному абсолютному приросту.

Темп (или коэффициент) роста представляет собой отношение уровня ряда к предшествующему или принятому за базу сравнения уровню и показывает, во сколько раз уровень текущего периода боль-

Темп прироста (сокращения) находится как отношение абсолютного прироста либо к предыдущему уровню, либо к базисному и показывает на сколько % (или долей единицы) уровень данного периода или момента времени больше (меньше) предшествующего уровня или базисного уровня.

Абсолютное значение 1% прироста показывает, какое абсолютное значение скрывается за относительным показателем – 1 % прироста - и представляет отношение цепного абсолютного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в %, за один и тот же период.

При сравнении динамики развития двух явлений можно использовать коэффициенты опережения, представляющие собой отношение базисных или среднегодовых темпов роста за одинаковые отрезки времени по двум динамическим рядам. В числителе обычно берут наибольший темп роста, в знаменателе – наименьший. Коэффициент опережения в этом случае покажет, во сколько раз одно явление разви-

81

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

Методы расчета среднего уровня ряда различны для интервальных и моментных рядов.

Для интервальных рядов средний уровень находится по формуле средней арифметической:

с равноотстоящими уровнями применяется средняя арифметиче-

ская простая: у = ∑ у , где п – число уровней ряда;

п

а с неравноотстоящими уровнями средняя арифметическая взве-

шенная: у = ∑ уt , где t – длительность интервала между уровнями.

∑ t

Средний уровень моментного ряда динамики определяется по средней хронологической:

с равноотстоящими уровнями применяется средняя хронологиче-

смежными уровнями. На практике ввиду трудоемкости расчета вместо средней хронологической взвешенной зачастую используют среднюю

арифметическую взвешенную: у = ∑ уt .

∑ t

где n – число уровней ряда.

82

Средний темп прироста находится на основании среднего темпа роста: Тпр = Т р − 100 (или 1).

Пример 1. По данным таблицы определите среднюю численность постоянного населения города N-ска в первом квартале, в первом полугодии и за год в целом:

Решение: Для расчета в первом квартале применяется средняя хроно-

где ∑t - продолжительность периода.

По данным о численности населения на начало и конец года среднюю численность в целом за год можно приближенно найти по средней

83

8.3. Приемы и методы выявления тенденции ряда динамики

Выявление основной тенденции ряда является одним из методов анализа и обобщения динамических рядов. В статистике выявление основной тенденции развития производится чаще всего следующими методами: укрупнением интервалов, скользящей средней, выравниванием по среднему абсолютному приросту и аналитическим выравниванием.

Простейшим из методов выявления тенденции является укрупне- ние интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, например, по 3х- летиям или 5ти-летиям, позволяет выявлять направление и характер основной тенденции развития.

Сглаживание ряда динамики при помощи скользящей средней заключается в том, что образуется ряд теоретических уровней, в котором случайные колебания погашаются. Такие средние уровни рассчитываются по подвижным или «скользящим» периодам, например, «скользящим» 3х- летиям или 5ти-летиям, которые образуются путем последовательного исключения начального уровня и включения следующего за последним периодом уровня. Сглаженный ряд получается короче

фактического ряда данных на п −1 уровней с каждой стороны (в нача-

2

ле и в конце), где п - число единиц в укрупненном периоде. При применении метода скользящей средней большое значение имеет выбор интервала скольжения. Он должен соответствовать периоду колебаний в данном динамическом ряду. (Например, цикл метеоусловий составляет 10-12 лет, поэтому для анализа урожайности в динамике период укрупнения должен равняться 10-12).

Для того, чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используют выравнивание по среднему абсолютному приросту и аналитическое выравнивание.

Метод выравнивания по среднему абсолютному приросту применяется в случае равномерного развития явления, т.е. когда цепные абсолютные приросты близки по своим значениям. Выровненные уровни

с 0 для начального уровня ряда.

Пример 2. По данным таблицы 1 о валовом надое молока в сельскохозяйственных организациях Ульяновской области проведем расчет средней и скользящей средней по укрупненным периодам, выравнивание по среднегодовому абсолютному приросту.

84

Решение: Исходные и расчетные данные представим в таблице 1. Метод скользящих средних и метод укрупнения периодов нагляд-

но указывают на то, что валовое производство молока в сельскохозяйственных организациях Ульяновской области за исследуемый 9ти – летний период имеет четкую тенденцию к снижению.

Среднегодовой абсолютный прирост:

где Yn -уровень последнего года; Yo-уровень первоначального года; n - число лет;

t - условное обозначение времени, начиная с 0 для первоначального уровня ряда.

Среднегодовой темп роста, %:

Среднегодовой темп прироста, %:

Тпр = Тр − 100 =92,07-100=-7,93%

По данным за 20012009гг. валовое производство молока снижается на 89,75 тыс. ц или 7,93% в год.

85

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции, или, иначе, тренда, является аналитическое выравнивание методом наименьших квадратов. Сущность МНК заключается в том, что подбирается уравнение, которое наиболее точно отражает характер изменения динамического ряда за изучаемый период (на практике можно использовать графическое изображение уровней ряда). Как правило, если явление развивается в арифметической прогрессии, то для вырав-

Если установлен нелинейный тип тренда, то выравнивание производят по полиному более высокого порядка, например, параболы вто-

где a0 - выровненный уровень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета;

a1 - средний за весь период среднегодовой прирост (сокращение), который изменяется равномерно со средним ускорением или замедлением, равным 2a2.

a2 - половина ускорения (замедления).

87

Согласно МНК для нахождения трех неизвестных параметров надо решить систему из трех нормальных уравнений:

Степень приближения выровненных значений к фактическим, т.е. целесообразность применения данной функции, оценивают по средне-

квадратическому отклонению (σ) и коэффициенту колеблемости

ет тенденцию ряда и именно его лучше всего использовать для прогнозирования.

Пример 3. По данным об урожайности зерновых и зернобобовых культур за 2003-2011гг. по группе сельскохозяйственных предприятий произведите аналитическое выравнивание динамического ряда урожайности с помощью уравнения прямой и параболы второго порядка; измерьте колеблемость урожайности в динамике; сделайте вывод, какое уравнение лучше отражает тенденцию ряда.

Решение:

Определим параметры уравнения прямой ~уi = а0 + а1ti . Для нахождения значений а0 и а1 в соответствии с требованиями метода наименьших квадратов составим систему из двух уравнений:

∑ y = na + a ∑t

0 1

∑ yt = a0 ∑t + a1 ∑t 2

Исходные данные и необходимые расчеты представим в таблице 1.

Параметры уравнения означают, что средняя за 9ти-летний период урожайность составила 18,22ц/га, ежегодный рост урожайности составляет 0,085 ц/га.

88

Таблица 1- Аналитическое выравнивание средней урожайности зерновых и зернобобовых культур по уравнению прямой

Степень приближения выровненных значений к фактическим оценивают по среднеквадратическому отклонению и коэффициенту колеблемости. Чем они меньше, тем точнее данное уравнение отражает тенденцию ряда.

a0 − выровненный уровень для момента или периода, принятого за начало отсчета;

a1 − средний за весь период среднегодовой прирост (сокращение);

a2 − половина ежегодного ускорения (замедления) прироста или сокращения.

Для вычисления искомых параметров a0 , a1 , a2 по методу наименьших квадратов необходимо решить систему из трех уравнений:

89

164 = 9a0 + 60a21086,9 = 60a0 + 708а2

90