УМК ЧЕЛНОКОВОЙ С.В. СТАТИСТИКА

которой результативный признак У зависит от двух и более факторных признаков. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель. В настоящее время эта задача решается в основном на ПК с помощью ППП (Statisticа, Excel и др.).

Составление уравнения множественной регрессии включает три этапа:

1)выбор уравнения связи;

2)отбор факторных признаков;

3)определение числа наблюдений.

На первом этапе наиболее приемлемым способом определения вида исходного уравнения регрессии является метод перебора различных уравнений. Этот способ связан с большим объемом вычислительных работ, поэтому реализуется на ЭВМ с помощью специального разработанного алгоритма перебора с последующей статистической проверкой. Однако практикой доказано, что аналитическая функция, положенная в основу модели, должна иметь, по возможности, простой вид. Поэтому наибольшее распространение получили линейные и приводимые к линейным формы связи в силу простоты и логичности их экономической интерпретации.

На втором этапе отбор факторных признаков первоначально осуществляется на основе качественного логического анализа, так как в модель необходимо включать наиболее важные и существенные факторы. Затем может быть применен метод шаговой регрессии, суть которого заключается в последовательном включении факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их значимости. Одновременно с этим из модели исключаются факторы, ставшие незначимыми на основе t-критерия Сьюдента. Если при включении в модель соот-

ветствующего факторного признака величина множественного ко- эффициента корреляции увеличивается, а коэффициент регрессии не изменяется или изменяется незначительно, то данный признак суще- ственен и его включение в уравнение регрессии необходимо. Если же при включении в модель факторного признака коэффициенты регрес- сии меняют не только величину, но и знаки, а множественный коэф- фициент корреляции не возрастает, то данный фактор признается

нецелесообразным для включения в модель.

Важным моментом при отборе факторов является недопущение явления мультиколлинеарности. Под мультиколлинеарностью понимается тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель, которая ведет к искажению статистических характери-

121

стик и изменению смысла их экономической интерпретации. Наличие мультиколлинеарности можно выявить по парным межфакторным коэффициентам корреляции, превышающим ± 0,7 , а также оценивая

определитель матрицы парных коэффициентов корреляции: чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии, и наоборот, чем ближе к 1 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов. Устраняют мультиколлинеарность исключением из модели одного или нескольких линейно-связанных факторных признаков.

Третий этап связан с определением оптимального числа наблюдений, ведь сущность корреляционных расчетов – в усреднении, а средние тем надежнее, чем по большему объему данных они рассчитаны. С другой стороны, существует опасность включения дополнительных данных без тщательного качественного отбора. Поэтому практика выработала следующий грубый критерий: число наблюдений должно в 5-8 раз превышать число факторных признаков, включенных в модель.

Множественную корреляционно – регрессионную модель изучим на простейшем примере – уравнении двухфакторной линейной регрессии. В натуральном масштабе оно имеет вид:

Υˆ Χ1Χ 2 = а + b1Χ1 + b2Χ2 ,

где b1, b2 – коэффициенты чистой регрессии могут быть найдены МНК:

Оценка влияния каждого из факторов на результативный признак по коэффициентам чистой регрессии затруднена, потому что они непосредственно несопоставимы из-за того, что факторные признаки различны по своей сущности и обычно имеют разные единицы измерения. Для того, чтобы дать сравнительную оценку силы влияния каждого из факторов на результат рассчитывают стандартизованные β-

Чем больше абсолютное значение β-коэффициента, тем сильнее данный фактор воздействует на результат, и наоборот, чем меньше абсолютное значение β-коэффициента, тем слабее влияние соответствующего фактора. Таким образом, β-коэффициенты в отличие от ко-

122

эффициентов регрессии позволяют ранжировать факторы по силе их влияния на результат.

Такую же ранжировку позволяют сделать средние коэффициенты эластичности, которые, перенимая знак от коэффициентов регрессии,

указывают еще и на направление связи: ЭΥΧi = bi ΧΥi .

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости вычисляются множественный и частные коэффициенты корреляции.

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает

коэффициент множественной корреляции (R), который изменяется в пределах 0 ≤ R ≤ 1 и в зависимости от исходных данных может быть

рассчитан несколькими способами:

торный парный коэффициент корреляции.

Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента множественной корреляции R2 ΥΧ1 ...Χi .

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1

до 1, но в отличие от парных измеряют влияние фактора Хi на У при неизменном уровне других факторов. Значения парных и частных коэффициентов корреляции отличаются друг от друга, так как парный коэффициент характеризует связь между двумя признаками с учетом наличия и влияния остальных факторов, а частный коэффициент корреляции исключает это влияние, то есть оценивает связь в «чистом виде». Обычно, частные коэффициенты корреляции используют на стадии формирования модели в процедуре отсева факторов. Последовательно, по одному, исключаются факторы с наименьшими и несущественными по t- критерию Стьюдента частными коэффициентами корреляции до тех пор, пока не окажется, что все частные коэффициенты корреляции су-

123

щественно отличаются от нуля. Частные коэффициенты корреляции считаются достоверными, а коэффициенты регрессии статистически значимыми и надежными, если соответствующие фактические значения t– критерия Стьюдента больше табличного. Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивает F – критерий Фишера:

чества внесенных органических удобрений и доли сортовых посевов на урожайность картофеля.

Решение: Линейное уравнение множественной регрессии У от Х1 и

124

Уравнение связи принимает вид: Uˆ = -15,825 + 3,75X 1 +1,5X 2

Коэффициенты эластичности:

- следовательно, второй фактор оказывает большее влияние на результат, чем первый.

Для двухфакторной модели можно использовать следующую формулу

коэффициента множественной корреляции:

Коэффициент множественной детерминации: R 2 ΥΧ1Χ2 = 0,955

126

Вывод: Первый коэффициент регрессии показывает, что при увеличении дозы внесения удобрений на 1 т/га, урожайность картофеля возрастает в среднем на 3,75 ц/га при той же средней доле сортовых посевов. Второй коэффициент регрессии показывает, что при увеличении доли сортовых посевов на 1%-ный пункт, урожайность картофеля возрастает на 1,5 ц/га при той же средней дозе внесения органических удобрений. Зависимость урожайности от признаков – факторов очень сильная, так как множественный коэффициент корреляции близок к 1. Множественный коэффициент детерминации показывает, что вариация урожайности на 95,5% зависит от вариации признаков, включенных в модель, и только 4,5% - от влияния других, неучтенных причин.

10.5. Непараметрические показатели корреляционной связи

Показатели корреляции, определяемые по вышеприведенным формулам предполагают, что изучаемая совокупность имеет нормаль-

ное или близкое к нормальному распределение. В тех случаях, когда характер распределения неизвестен, определение тесноты связи основывается на непараметрических методах. Одним из них является рас-

чет коэффициента корреляции рангов (коэффициента Спирмена), ко-

торый используется для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, если их значения можно упорядочить по степени возрастания или убывания признака. Коэффициент Спирмена принимает любые значения в интервале от -1 до +1 и определяется по формуле:

6∑ d 2

ρ = 1 − n(n2 −i1),

di2 - квадрат разности рангов; n - число наблюдений (пар рангов).

Ранжирование – это процедура упорядочивания объектов изучения. Ранг – это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания из величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической от соответствующих номеров мест, которые определяют. Такие ранги называют связными.

Если при ранжировании двух взаимосвязанных рядов каждая пара наблюдения получит одинаковый ранг, то их разность будет равна нулю, а коэффициент корреляции равен 1. Если же при ранжировании один признак получит ранги от 1 до n, а другой от n до 1, то коэффициент корреляции = -1.

127

Пример 3. Выявим тесноту связи между общеэкономическими науками и статистикой.

- положителен и близок к единице, следовательно, связь между общеэкономическими дисциплинами и статистикой тесная и прямая.

Вторым простейшим примером непараметрического показателя связи является коэффициент Фехнера. Он строится на сравнении поведения отклонений отдельных вариант от своей средней величины по каждому признаку. Причем во внимание принимаются не величины отклонений, а только их знаки. Вычислив средние величины по каждому признаку, расставляют знаки: «-» там, где варианта меньше средней и «+» там, где больше, и рассчитывают коэффициент по формуле:

r = ∑C − ∑ Н , где С - совпадение знаков, Н - их несовпадение.

∑С + ∑ Н

Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффи-

циенты ассоциации и контингенции. Связь считается подтвержденной,

если Ка ³ 0,5 или Кк ³ 0,3 , причем всегда Ка > Кк . В случае пря-

мой связи эти коэффициенты положительны, при обратной связи – отрицательны, изменяются в интервале [−1;1] и определяются:

128

таблице сопряженности.

Пример 4. Исследуйте зависимость между успеваемостью студентов- заочников и работой их по специальности.

- связь между успеваемостью студентовзаочников и работой их по специальности существенна.

10.6. Особенности корреляции в динамике

Временные ряды, показывающие зависимость результативного признака от одного или нескольких факторных, называют связными. Между уровнями рядов динамики, особенно смежными, существует взаимосвязь – автокорреляция. Важно установить её наличие и степень, так как она приводит к искажению величин средних квадратических ошибок коэффициентов регрессии, что затрудняет построение доверительных интервалов для них, а также проверку их значимости.

Выявить наличие автокорреляции можно, используя критерий Дарбина – Уотсона (d). Если автокорреляция в исходном динамическом отсутствует, то значения d, лежащие в интервале от 0 до 4, всегда будут находиться ближе к 2. Если автокорреляция положительная, то d<2, если отрицательная, то 2 ≤ d ≤ 4 . Следовательно, оценки по критерию не точечные, а интервальные. Их значения с учетом уровня значимости и числа наблюдений даны в специальных таблицах.

Измеряют автокорреляцию при помощи коэффициента автокор- реляции по формуле:

129

r= УtУt +1 -Уt ×Уt +1

аσ Υt ×σ Υt +1

Для исключения основной тенденции (тренда) из первоначальных данных применяют различные методы.

Наиболее действенным способом обработки связных рядов дина-

мики считается введение времени t в качестве дополнительной пере-

менной. Например, Υˆ Χ1t = à + b1Χ1 + b2t . Параметры такого урав-

нения находятся обычным МНК. Доказано, что введение фактора времени исключает основную тенденцию развития всех явлений, представленных исследуемыми рядами динамики, поэтому введение фактора времени аналогично другому способу устранения автокорреляции

– использованию отклонений фактических данных от трендов. Суть этого способа состоит в том, что коррелируют не сами уровни, а отклонения фактических уровней от выровненных по определенной, характерной для ряда динамики аналитической формуле, то есть

10.7. Многомерные группировки

Выявление неиспользованных резервов повышения эффективности производства требует учета всего комплекса факторов. Для оценки влияния факторов на результаты производства часто используются комбинационные группировки. Но они не всегда могут применяться, особенно если число единиц исследуемой совокупности невелико. Поэтому некоторые ученые предлагают применять многомерные группи- ровки. Здесь натуральные значения результативного и факторных признаков заменяются их отношениями к средней арифметической вели-

Затем составляется и анализируется матрица этих коэффициентов (рассмотрим пример по данным таблицы 1).

130