Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Аналитическая геометрия

Файл:

Методичка по аналитической геометрии

.pdf

Скачиваний:

373

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

О 3	-3	О

а)

б)

-3 О 3

в)

Рис. 39

7. Построить линию r 1 .

Решение:

Поскольку r 0 , то, следовательно, 0 . Давая значения, получим r , причем с увеличением уменьшается r . Для удобства построения возьмем несколько значений и вычислим r :

								3	2
	6		4		2			2

r		6		4		2	1	2		1
								3		2

Искомая линия изображена на рис. 40.

						О
											Рис. 40
8.	Построить линию r 1 sin .
Решение:
Функция sin периодическая с периодом 2 .
1 sin 0 .
Следовательно, рассмотрим значения от 0 до																	2 .

	0								2		5		7		4				3		5		11		2
		6		3			2	3			6		6	3				2		3				6

r	1		1				0				1	1	3					2						3	1
r	1		1	1	3		0	1		3	1	1	3	1		3		2		1		3		3	1
		2									2		2										2
					2					2						2						2

Рис. 41

Задачи для самостоятельного решения

1.	Построить линию r 4 .
	2
2.	Построить линию r
		sin

3. Построить линию, состоящую из двух звеньев 1) r 4 ( 2 ) ,

	2) r	4	( ) .
	2) r	sin	( ) .
		sin	2
4.	Построить линию r 2;				.
				3	3
5.	Построить линию r cos

x (t), y (t)

7. Параметрические уравнения линии

Пусть на координатной плоскости Oxy дана некоторая линия. Пусть по этой линии движется точка М. В каждый момент времени t точка М занимает определенное положение на данной линии и, значит, ее координаты x и y принимают вполне определенные значения, т.е. являются функциями от t : . Эти два уравнения полностью определяют положение точки М в любой заданный момент времени t , а значит, определяют данную линию, т.е. являются уравнениями этой линии.

Определение. Уравнения
x (t),	y (t)	(t I )	(7.1)

называются параметрическими уравнениями данной линии на плоскости Oxy , при изменении t в конечном или бесконечном промежутке формулы (7.1) дают координаты любой точки данной линии и не дают координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Определение. Линия, заданная параметрическими уравнениями,

называется параметризованной.

Если параметризованная линия лежит в пространстве Oxyz , то ее

уравнения x (t),	y (t), z (t)				(t I ) .
Пример. Доказать, что						x Rcost, y Rsin t, t [0; 2 ] -
параметрические уравнения окружности радиусом R с центром в начале
координат.
Решение:
При любом	t t0	x R cost0 ,				y Rsin t0 . Возведем эти равенства в
квадрат и сложим:
x2 R2 cos2 t ,	y2 R2 sin2 t		0	;
0			0

x2 y2 R2 cos2 t0 R2 sin2 t0 ;

x2 y2 R2 (cos2 t0 sin2 t0 ) ;

x2 y2 R2 - получили уравнение окружности с центром в начале

координат и с радиусом R .			Когда параметр t		пробегает все значения из
промежутка	[0; 2 ] ,	точка	с	координатами	x и	y	пробегает эту
окружность,	значит,	x Rcost,		y Rsin t, t [0; 2 ]		-	параметрические

уравнения окружности радиусом R с центром в начале координат, ч.т.д.

Решение задач.

1. Построить линию

Решение:

x	t	1,	y	t	4 .
x	t	1,	y	t	4 .

Т.к.

0 , то

1 1,

4 4 . Значит, по условию задачи

x 1,

y 4 .

Наложив эти условия, выразим t из первого уравнения и подставим во второе:

t x 1;

y x 1 4 ;

y x 3 .

Построим прямую y x 3 и с учетом того, что	x 1,	y 4 ,
получим искомую линию (рис. 42):
Y

O 1

Рис. 42

			y 2 cos t .
2. Построить линию x 1	cos t	,
Решение:
Выразим из второго уравнения			cos t и подставим в первое
уравнение:
cos t y 2;

x 1 y 2 ;

Разобьем это уравнение на два случая:

1) если y 2 0 , т.е. y 2 , получим:

x 1 ( y 2) x 1 y 2 y x 1;

2) если y 2 0 , т.е. y 2 , получим:

x 1 ( y 2) x 1 y 2 y x 3 ;

Построим полученные прямые (рис.43), наложив указанные условия:

-3

Рис.43

3. Построить линию

Решение:

			y 1 sin t .
x 2	cos t	,	y 1 sin t .

Т.к. 0 cos t 1, значит, 1 x 2 .

Выразим из первого уравнения cos t , из второго sin t :

cos t 2 x, sin t y 1.

Полученные уравнения возведем в квадрат и сложим:

cos2 t sin2 t (x 2)2 ( y 1)2 ;

(x 2)2 ( y 1)2 1 - уравнение окружности с центром в точке (2, 1) и радиусом 1. С учетом условия 1 x 2 , получим искомую линию

(рис. 44).

2 x

Рис. 44
4. Построить линию x 2 2cos t,	y 1 3sin t .

Решение:

Выразим из первого уравнения cos t , из второго sin t :

cos t	2 x	,	sin t	y 1	.

	2		3

Полученные уравнения возведем в квадрат и сложим:

cos2 t sin2 t		(x 2)2			( y 1)2	;
		4			3

(x 2)2	( y 1)2
			1	- уравнение эллипса (рис. 45).
4	3

Рис. 45

Задачи для самостоятельного решения.

1.	Построить линию x 2t 1,				y 3 t .
					2, y 2 cos t .
2.	Построить линию x	cos t
				2, y 1 3				.
3.	Построить линию x 2		t				t
						, y 2 sin t .
4.	Построить линию x 1			cost

Библиографический список

1.Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 1 семестра. / Боголюбов А. В., Елисеева Ю. В., Елькин А. Г., Яновская Е. А. под ред. А. В. Боголюбова, А. Г. Елькина, Н. Н. Холщевниковой - М.: МГТУ "Станкин", 2003.

2.Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии / Н. В. Ефимов. - М.: Наука, 1975.

3.Краснов М. Л., Киселев А. И. и др. Высшая математика. Том 1 / М. Л. Краснов, А. И. Киселев и др. – М.: УРСС, 2003.

4.Гусак А. А.. Высшая математика. Учебник для студентов вузов. Том 1. 6-е издание / А. А. Гусак. - Минск: Тетросистема, 2007.

Учебное издание

Бубнова Татьяна Владимировна, Виноградова Юлия Александровна

Аналитическая геометрия Избранные главы

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете Аналитическая геометрия

#
29.03.2016321.56 Кб62Programma_KR_po_anal_geom_i_lin_algebre.pdf
#
11.02.20151.93 Mб373Методичка по аналитической геометрии.pdf