Programma_KR_po_anal_geom_i_lin_algebre

Программа контрольной работы «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»

Теория

Расстояние между двумя точками (на плоскости и в пространстве). Координаты середины отрезка. Построение кривой в полярной системе координат. Построение кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Определители 2-го, 3-го и 4-го порядков. Вычисление определителя разложением по строке (столбцу).

Векторы и линейные операции над ними. Коллинеарные и компланарные векторы. Ортонормированный базис и прямоугольные координаты вектора. Линейные операции и

условие коллинеарности двух векторов в координатной форме. Проекция вектора на ось. Прямоугольные координаты вектора как его проекции на оси.

Радиус-вектор точки и его координаты. Координаты вектора AB . Выражение длины и направляющих косинусов вектора через его координаты.

Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Выражение длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на вектор через скалярное произведение. Условие ортогональности двух векторов. Скалярное произведение в координатной форме.

Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение в координатной форме.

Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения. Условие компланарности трех векторов. Смешанное произведение в координатной форме. Свойства смешанного произведения.

Уравнения прямой на плоскости xy: параметрические; каноническое (проходящей через данную точку с данным направляющим вектором); проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом; с угловым коэффициентом; проходящей через две данные точки; проходящей чрез данную точку с данным нормальным вектором; общее. Расстояние от точки до прямой ( на плоскости xy).

Уравнения плоскости: проходящей через данную точку с данным нормальным вектором; общее. Расстояние от точки до плоскости.

Уравнения прямой в пространстве: параметрические, канонические (проходящей через данную точку с данным направляющим вектором); общие (как линии пересечения двух плоскостей).

Взаимное расположение двух прямых (на плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости.

Матрица размера m n . Единичная, диагональная матрицы. Транспонирование матрицы, линейные операции, произведение матриц. Определитель диагональной матрицы. Невырожденная матрица. Обратная матрица: определение, условие существования, формула для вычисления. Решение матричных уравнений.

Элементарные преобразования матрицы. Минор k-го порядка матрицы. Ранг матрицы. Теорема об элементарных преобразованиях и ранге. Базисный минор матрицы, теорема о базисном миноре.

Система m линейных уравнений с n неизвестными: общий вид, запись в матричной форме, (расширенная) матрица системы, понятие решения, (не)совместная система, (не)однородная система. Эквивалентные системы. Правило Крамера. Теорема Кронекера─Капелли. Свободные и базисные неизвестные, общее решение. Метод Жордана─Гаусса.

x 2 y z 3, 7. Методом Жордана-Гаусса решить систему уравнений

3x y 2z 2.

Ответ: например, x 1 3C, y 1 5C, z 7C, C Ў .

Уровень ВС

8.Построить линию x 2 t 3, y 5 t .

9.Написать уравнение прямой, проходящей через точку 2,3 на одинаковых расстояниях от точек 5, 1 и 3,7 . Ответ: y 3 0, 4x y 5 0 .