Методичка по аналитической геометрии

(рис. 8). Обозначим OM0 r0 , OM1 r. Вектор M0M1 (x1 x0 , y1 y0 ) коллинеарен

- векторное уравнение прямой, где r0 - радиус-вектор точки M 0 , лежащей на прямой, a – направляющий вектор прямой L.

Подведем итог.

Виды уравнений прямой на плоскости:

1.x a - уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox .

2.y b - уравнение прямой, параллельной оси Ox .

3. y kx b - уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, где k - угловой коэффициент прямой.

проходящей через точку M0 (x0 , y0 ) с направляющим вектором

a (l, m) .

30

координаты нормального вектора прямой.

10. r r0 ta - векторное уравнение прямой, где r0 - радиус-вектор точки M 0 , лежащей на прямой, a – направляющий вектор прямой L.

Взаимное расположение прямых на плоскости

Вычисление угла между прямыми

Определение. Углом между прямыми называется наименьший из двух смежных углов, образованных прямыми.

a2

Формула (3.9) определяет угол между прямыми, если известны их угловые коэффициенты.

Если прямые параллельны, то 1 2 , а следовательно,

- условие параллельности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

Если прямые перпендикулярны, то тангенс угла между ними не

- условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

Пусть прямые заданы общими уравнениями.

L1 : A1x B1 y C1 0;

L2 : A2 x B2 y C2 0.

В этом случае задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными векторами.

x

n2

n1

Рис. 15

32

Из курса векторной алгебры известно, что угол между векторами находят, используя скалярное произведение векторов:

- формула для вычисления угла между прямыми, заданными общими уравнениями.

коллинеарны (рис. 16). Значит, их координаты пропорциональны,

т.е.

- условие параллельности прямых, заданных общими уравнениями.

n1 n2

x

Рис. 16

Если прямые перпендикулярны (рис. 17), значит, угол между ними равен 2 . Следовательно, скалярное произведение нормальных

векторов этих прямых равно нулю, т.е. n1 n2 0 . А так как n1 A1, B1 и

n2 A2 , B2 , то

33

n2 n1

x

Рис. 17

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями.

По полной аналогии с предыдущим случаем задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между направляющими векторами a1 l1, m1 и a2 l2 , m2 (рис. 18).

Рис. 18

Угол между прямыми находят по формуле

Условие параллельности двух прямых:

Расстояние от точки до прямой.

Пусть прямая задана общим уравнением Ax By C 0 . Точка N1 (x1, y1 ) не принадлежит прямой (рис. 19).

N2 x

Рис. 19

Расстояние от точки N1 (x1, y1 ) до прямой вычисляется по формуле:

Решение: По формуле (3.18) расстояние от точки до прямой:

35

Ответ: d 3.

Решение задач.

1. Дана прямая L : x 3y 4 0 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 ( 2, 5) :

а) параллельно данной прямой L ;

б) перпендикулярно данной прямой L .

Решение:

нормального вектора – это коэффициенты при x и y в общем уравнении прямой).

А. Пусть L1 - искомая прямая (рис. 20).

A(x x0 ) B( y y0 ) 0 - уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ) с нормальным вектором n ( A, B) .

Подставив координаты точки и координаты нормального вектора в это уравнение, получим:

1 (x ( 2)) 3 ( y 5) 0;

x2 3y 15 0;

x3y 13 0 - уравнение искомой прямой L1 .

Как видим, уравнения параллельных прямых отличаются только свободными членами.

2. Составить уравнение высоты AD и медианы AK треугольника

ABC , если A( 1, 2), B(6, 6), C( 3,9) .

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 21).

37

B

K

D

нормальным вектором для прямой AD . Найдем координаты вектора BC . Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца этого вектора вычесть координаты начала, т.е.

BC ( 3 6, 9 6);

BC ( 9,3) n.

Так как известна точка A( 1, 2) , которая принадлежит искомой прямой AD , и нормальный вектор этой прямой n ( 9, 3) , то воспользуемся уравнением (3.5) прямой, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ) с нормальным вектором n ( A, B) : A(x x0 ) B( y y0 ) 0.

Подставим координаты точки x0 9, y0 3 и координаты нормального вектора A 9, B 3 в уравнение и получим:

9 (x ( 1)) 3 ( y 2) 0; 9x 9 3y 6 0;

K(1,5, 7,5)

Поскольку известны координаты двух точек A и K прямой, то воспользуемся уравнением (3.3) прямой, проходящей через 2 заданные

Решение:

Данная прямая задается параметрическими уравнениями. Направляющий вектор этой прямой a (4, 2) (коэффициенты перед параметром t в уравнениях). Так как по условию прямые перпендикулярны, то данный

M (x0 , y0 ) с нормальным вектором n ( A, B) , подставив в него координаты данной точки M (5, 1) и координаты нормального вектора n (4, 2) .

Для нашей прямой:

4 (x ( 5)) 2 ( y ( 1)) 0 ;

4 (x 5) 2 ( y 1) 0 ;

39