Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технологический университет "Станкин"

Предмет:

Аналитическая геометрия

Файл:

Методичка по аналитической геометрии

.pdf

Скачиваний:

373

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

13. Совпадают ли прямые	x 3	y 1		z	2	и	x 7		y 13	z 8	?
		6					4			6
	2		3					12

Решение:

Для того чтобы прямые совпадали, они должны иметь хотя бы одну общую точку и их направляющие векторы должны быть коллинеарны.

Проверим второе условие.	Направляющий вектор первой прямой
a1 (2, 6, 3) , второй прямой	a2 ( 4,12, 6) .

Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат. Проверим это:

направляющие векторы коллинеарны.

Следовательно, данные прямые параллельны.

Проверим первое условие. Возьмем точку M ( 3,1, 2) ,

принадлежащую

первой

прямой

(точка

легко

определяется

из уравнения

x x0

y y0

z z0

где

(x , y , z ) -

координаты точки, через которую

проходит эта прямая).

Подставим

координаты

точки

М в

уравнения второй

прямой вместо

x, y, z . Если точка М принадлежит второй прямой, то мы должны получить тождественные равенства:

3 7	1 13	2 8	;
4	12	6

1 1 1.

Точка М принадлежит обеим прямым, а т.к. они параллельны и имеют общую точку, значит, они совпадают.

Ответ: совпадают.
14. Лежит ли прямая L:	x 1		y 5		z 3	в плоскости :
14. Лежит ли прямая L:						в плоскости :
	3	2		2
2x y 2z 9 0 ?
Решение:

a (l, m, n)

Если прямая, параллельная плоскости, имеет с ней хотя бы одну общую точку, то прямая лежит в плоскости. Проверим, параллельна ли прямая плоскости. Если n ( A, B,C) - нормальный вектор плоскости, - направляющий вектор прямой, то условие параллельности прямой и плоскости:

A l B m C n 0 .

В нашем случае n (2, 1, 2) и a (3, 2, 2) . Подставим в формулу эти значения, получим:

1 3 ( 1) 2 2 2 3 2 4 5 0 , значит, прямая не параллельна плоскости, и следовательно, не лежит в этой плоскости.

Ответ: нет.
15. Составить	уравнение	плоскости,		содержащей	прямую
x 2t 2, y 2t, z t 1		и	лежащей	параллельно	прямой
x y z .
Решение:
Искомая плоскость содержит прямую x 2t 2,				y 2t, z t 1,	значит,
все точки этой прямой находятся			в плоскости, в том числе и точка
P0 ( 2, 0,1) , принадлежащая прямой.

По условию плоскость параллельна прямой x y z . Перепишем эти канонические уравнения в привычном виде:

x	y	z	,
1	1	1

отсюда следует, что направляющий вектор этой прямой a (1, 1, 1) .

Если прямая параллельна плоскости, то и направляющий вектор прямой

также	параллелен	плоскости.	Найдем вектор, перпендикулярный
вектору	a (1, 1, 1) .	В качестве	такого вектора	можно	взять вектор
n (0, 1,1) (действительно, чтобы векторы				были	ортогональны,

необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю, скалярное произведение данных векторов a n 1 0 1 ( 1) 1 1 0 , значит, они перпендикулярны).

Итак, точка	P0 ( 2, 0,1) принадлежит		плоскости, вектор	n (0, 1,1) -
нормальный вектор плоскости.
Используя уравнение (4.2):
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 , получим
0 (x 2) 1 ( y 0) 1 (z 1) 0,
y z 1 0 или y z 1 0 - искомое уравнение плоскости.
Ответ: y z 1 0 .
16. Найти	расстояние	между	параллельными	прямыми

x 2t, y 3t 2, z t 1 и x 4t 2, y 6t 1, z 2t .

Решение:

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой или равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения.

L1	L2
a1
M1	a2
	M 2

Рис. 32

Рассмотрим прямую L1 (рис.32). Ее направляющий вектор a1 (2, 3, 1) (коэффициенты при t в уравнениях).

Точка M1 (0, 2,1) принадлежит прямой L1 . Точка M2 (2,1, 0) принадлежит прямой L2 .

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах a1 и M1M2 . Площадь этого параллелограмма равна длине их векторного произведения, т.е.

S	a1 M1M2		.
a1 (2, 3, 1) ,			M1M2 2,3, 1 .
		i	j	k

a1 M1M 2		2 3		1	3i 2 j 6k ( 6)k 3i ( 2) j 4 j 12k ;
		2	3 1

a1 M1M2 (0, 4,12) .

S a1 M1M2 0 42 122 160 410 .

Высота этого параллелограмма h, опущенная из точки M1 , и есть расстояние между этими параллельными прямыми. Площадь

параллелограмма						S h b ,				где	b	- длина стороны параллелограмма, на
которую опущена высота. В нашем случае:

b	a	22	( 3)2 12				14 .
	1

Тогда h			S	4	10			4		-	это	и есть расстояние между данными
			S	4	10			4	35
									35
			b		14		7

параллельными прямыми.

Ответ: 74 35 .

Задачи для самостоятельного решения

1.Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0;1; 3 параллельно оси Oz .

Ответ: x y 1 z 3 .

0 0 1

2.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M 0; 1; 2 перпендикулярно плоскости x 3z 4 0 .

Ответ: x y 1 z 2 .

1 0 3

A 3; 1; 2 ,

B (0; 1; 4) ,

C ( 1;1;1) . Составить

уравнения

прямой,

проходящей через точку С параллельно прямой АВ.

Ответ:

x 1

y 1

z 1

A 1; 2; 1 , B 3; 0; 3 .

Найти ординату точки пересечения прямой

АВ с плоскостью Oxy .

A 1;1; 2 ,

Ответ: -3.

B (0; 2;1) ,

C ( 3;1; 0) .

Составить

уравнения

медианы

треугольника АВС, проведенной из вершины В.

Ответ:

y 2

z 1

A 0; 1; 2 ,

B (0; 1; 4) ,

C ( 1; 2;1) .

Составить

уравнения

прямой,

проходящей через точку С параллельно прямой АВ.

Ответ:

x 1

y 2

z 1

7.Составить уравнения прямой, проходящей через точку M ( 5;1; 4) перпендикулярно плоскости x z 0 .

					Ответ:		x 5		y 1	z 4	.
					Ответ:						.
							1	0		1
8. Составить уравнение плоскости,				проходящей через точку A (5; 1; 0)
перпендикулярно прямой	x		y 2		z 1	.
перпендикулярно прямой	3					.
	3	0		1

Ответ: 3x z 15 0 .

9.Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно прямой x t 3; y 1; z 5t .

						Ответ: x 5z 0 .
10.	Найти точку пересечения			прямой			x 2	y 1		z 3	с плоскостью
10.	Найти точку пересечения			прямой		1		1		1	с плоскостью
						1		1		1
	3x y 2z 3 0 .
						Ответ: (6, 7, 11) .
11.	Лежит ли прямая	x 1	y 3		z 2	в плоскости			x y 2z 9 0 ?
11.	Лежит ли прямая				2	в плоскости			x y 2z 9 0 ?
		1	2		2

Ответ: нет.

6. Полярные координаты

Зафиксируем на плоскости точку, обозначим ее буквой О и назовем полюсом. Луч OP , исходящий из полюса, назовем полярной осью (рис. 33).

M (r, )

O	1	P
		Рис. 33

Выберем единицу масштаба. Пусть М – произвольная точка плоскости.

Определение. Полярными координатами точки М называются два числа r и , где r - длина отрезка ОМ; - угол, на который нужно повернуть полярную ось OP, чтобы она совпала с ОМ.

Число r называется полярным радиусом, r 0 .

Число называется полярным углом.

Точку М с полярными координатами r и обозначают M (r, ) .

Если поворот оси происходит против часовой стрелки, то принимает положительные значения. Значение для точек, отличных от полюса, определено с точностью до 2 k , где k Z .

Значения полярного угла, удовлетворяющего неравенствам 0 2 , называются главными.

Для полюса r 0 , значение не определено.

Рассмотрим прямоугольную систему координат такую, что полюс совпадает с началом координат, а полярная ось – с положительной полуосью Ox (масштаб одинаковый).

	O	x	x
		Рис.34
Если М – произвольная		точка плоскости, x и	y -	ее декартовы
координаты, а r и - ее полярные координаты, то

	x r cos , y r sin			(6.1)

-	выражение	прямоугольных	координат	через	полярные
координаты.

x2 y2 ;

cos

; sin

(6.2)

- выражение полярных координат через прямоугольные координаты.

Уравнение линии в полярной системе координат имеет вид		F r, 0
или r r( ) .
В частности, уравнение окружности радиусом R с центром в полюсе в
полярных координатах имеет вид:

	r R	(6.3)

Решение задач.

1. Определить полярные координаты точки M ( 1, 3) .

Решение:

x 1; y 3 , значит, по формулам 6.2:

r ( 1)2 ( 3)2 2 ;
						2
cos	1	;	sin	3	, следовательно,		.
	2			2		3

Ответ: M (2, 23 ) .

2. Построить линию r 2 .

Решение:

Из формулы (6.3) следует, что данное уравнение – уравнение окружности радиусом 2 с центром в полюсе (рис. 35).

О2

Рис. 35
3. Построить линию r 2;		.
	3	3
Решение:

Линия r 2 построена в примере 2 (рис. 32), угол меняется от 0 до

2 . Но в данном примере					. Проведем лучи		;		.
		3		3		3			3

Часть окружности, расположенная между этими лучами, и есть искомая линия (рис. 36).

О2

Рис. 36

4. Построить линию 2 .

Решение:

Угол 2 больше 3,14 и меньше			1,57 . Точки,
Угол 2 больше 3,14 и меньше		2	1,57 . Точки,
лежащие на луче 2	(рис. 34), удовлетворяют уравнению линии
2 , их координаты (r, 2) , где r 0 .
	О
	2

Рис. 37

5. Построить линию , 1 r 3 .
4
Решение:
Точки, принадлежащие данной линии, расположены на луче				(у
			4
всех таких точек вторая координата равна		). Первая координата у
	4

точек, лежащих на данной линии, удовлетворяет неравенству 1 r 3 ,

т.е. это точки, удаленные от полюса на расстояние, не меньшее 1, но не большее 3. Искомая линия изображена на рис. 38.

Рис. 38.

6. Построить линию, составленную из двух звеньев:

1) r 3;	0 ;	2) r	3	;	(	3	) .
			cos			2

Решение:

Первое звено представляет собой часть окружности с центром в полюсе и радиусом 3, лежащую между лучами 0; (рис. 39, а).

Для того чтобы построить второе звено, преобразуем формулу

r 3 , умножив обе части этого равенства на cos :

cos

r cos 3.

По формуле (6.1) r cos x , отсюда x 3 - вертикальная прямая. Возьмем часть этой прямой, расположенной внутри сектора,

ограниченного лучами ; 32 (рис. 39, б).

Искомая прямая – это объединение двух звеньев (рис. 39, в).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Аналитическая геометрия

#
29.03.2016321.56 Кб62Programma_KR_po_anal_geom_i_lin_algebre.pdf
#
11.02.20151.93 Mб373Методичка по аналитической геометрии.pdf