Методичка по аналитической геометрии

4x 2y 18 0 - уравнение искомой прямой.

В точке пересечения этой прямой с осью Ox вторая координата y будет равна нулю. Подставим y 0 в уравнение 4x 2y 18 0 , получим:

4x 18 0;

x 184 4, 5.

Значит, прямая пересекает ось Ox в точке ( 4,5; 0) .

Ответ: ( 4,5; 0) .

4. Найти расстояние между параллельными прямыми L1 : 2x 3y 6 0

и L2 : 2x 3y 4 0.

Решение:

Задача сводится к нахождению расстояния от точки, принадлежащей одной прямой, до другой параллельной прямой. Найдем координаты какой-нибудь точки М, принадлежащей прямой L1 : 2x 3y 6 0 .

Пусть x 0 - абсцисса точки М. Для нахождения ординаты точки М подставим x 0 в уравнение этой прямой, получим:

0 3y 6 0; y 2.

Это и есть искомое расстояние между параллельными прямыми.

Ответ: d 10 .

13

40

5. M (2, 1) , N( 6,3) . Точка К делит отрезок MN в отношении 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно оси Oy .

Решение:

Найдем координаты точки К, используя формулы (1.3’) деления отрезка в отношении . В нашей задаче 3.

Поскольку искомая прямая параллельна оси Oy , то любой вектор,

Решение:

Преобразуем каноническое уравнение первой прямой в общее уравнение прямой:

x 2 y 1 или 2x 4 y 1.

1 2

Отсюда 2x y 3 0 - общее уравнение первой прямой. Ее нормальный

угол между прямыми принимается угол между их нормальными векторами.

7. Найти угол, который прямая 3x y 5 0 образует с осью Ox .

Решение:

Прямая задана общим уравнением. Преобразуем его в уравнение прямой с угловым коэффициентом. Для этого выразим y из этого уравнения:

y 3x 5 .

3 - угловой коэффициент прямой, т.е. тангенс угла, который прямая образует с осью Ox :

6. A 2;1 , B 6; 3 . Точка С делит отрезок АВ в отношении 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно оси Oy .

Ответ: x 4 .

7. A 1; 2 , B 6; 6 , C 3; 9 . Составить уравнение высоты треугольника АВС, проведенной из вершины А.

43

Частные случаи уравнения плоскости.

Уравнение Ax D 0 определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz (рис. 22, г).

Аналогично рассматриваются другие возможные случаи.

Взаимное расположение двух плоскостей

Рассмотрим две плоскости, заданные уравнениями A1x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 . Нормальный вектор первой плоскости n1 ( A1, B1,C1) , второй - n2 (A2 , B2 ,C2 ) .

Если плоскости параллельны, то векторы n1 ( A1, B1,C1) и n2 ( A2 , B2 ,C2 ) коллинеарны, поэтому необходимое и достаточное условие параллельности двух плоскостей выражается равенствами:

Условие совпадения двух плоскостей выражается равенствами:

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы, а значит, их скалярное произведение равно нулю, т.е. n1 n2 0 или

- необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями.

В общем случае за угол между плоскостями принимается угол между их нормальными векторами n1 (A1, B1,C1 ) и n2 ( A2 , B2 ,C2 ) .

n1 n2 2 1 ( 3) 2 4 1 0 , значит, плоскости перпендикулярны.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

46

Пример. Найти расстояние между параллельными плоскостями

x 2y z 4 0 и x 2y z 2 0 .

Решение:

Расстояние между параллельными плоскостями сводится к нахождению расстояния от точки, лежащей в одной из плоскостей, до другой плоскости.

Пусть точка N принадлежит плоскости x 2y z 4 0 . Если xN yN 0 , то, подставив эти значения в уравнение плоскости, получим zN 4 .

Итак, точка N(0, 0, 4) принадлежит плоскости x 2y z 4 0 .

Из уравнения плоскости x 2y z 2 0 имеем A 1, B 2, С 1.

Подставив полученные значения в формулу (4.7), получим:

Ответ: d 2 36 .

47

Решение задач.

1.Даны точка M (0,1, 2) и вектор MN (1,3, 2) . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку N параллельно плоскости YZ .

Составим уравнение плоскости, пользуясь уравнением (4.2).

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ,

1 (x 1) 0 ( y 4) 0 (z 0) 0,

x 1 0 - искомое уравнение плоскости.

Ответ: x 1 0 .

2.Составить уравнение плоскости, зная, что точка P(3, 6, 2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Решение:

Вектор OP перпендикулярен плоскости (рис. 23). Значит, вектор OP будет являться нормальным вектором искомой плоскости.

48

z

P

y

x

Рис. 23

Найдем координаты вектора OP :

OP 3 0, 6 0, 2 0 3, 6, 2 .

Имеем точку P(3, 6, 2) , принадлежащую искомой плоскости, и ее нормальный вектор OP 3, 6, 2 .

Составим уравнение плоскости, используя уравнение (4.2).

A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ,

3 (x 3) 6 ( y 6) 2 (z 2) 0,

3x 6y 2z 49 0 - искомое уравнение плоскости.

Ответ: 3x 6y 2z 49 0 .

3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой KN , если K(1, 0, 2), M (1, 2,3), N( 1, 2, 2) .

Решение:

Вектор KN , лежащий на прямой KN , будет являться нормальным вектором для искомой плоскости, так как прямая KN перпендикулярна этой плоскости. Найдем его координаты, которые равны разностям соответствующих координат его конца N и начала K :

KN 1 ( 1), 2 0, 2 ( 2) 2, 2, 0 .

Составим уравнение плоскости, воспользовавшись уравнением (4.2).

49