Методичка по аналитической геометрии

Ответ: abc 6.

12. Компланарны ли векторы a ( 1, 0,1), b (0,1, 2), c (1, 2, 0) ?

Решение:

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Найдем смешанное произведение данных векторов:

Ответ: нет.

13. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a (1, 2,1) ,

b ( 1, 0,1) , c (0, 2, 1) .

Решение:

Объем V параллелепипеда, построенного на данных векторах, равен модулю смешанного произведения этих векторов. Смешанное произведение данных векторов найдено в задаче 11:

abc 6 .

Решение:

Тройка векторов является правой, если смешанное произведение положительно, и левой – если оно отрицательно. Смешанное произведение данных векторов найдено в задаче 12:

21

abc 3 0 , значит, данная тройка векторов правая.

Ответ: правая.

Задачи для самостоятельного решения.

Ответ: правая.

22

3. Прямая на плоскости

Прямую линию на плоскости в системе декартовых прямоугольных координат можно задать различными способами. Прямая однозначно определяется углом, образуемым ею с осью Ox и величиной направленного отрезка, отсекаемого на оси Oy , координатами двух точек и т.п.

В зависимости от способа задания прямой рассматривают различные виды ее уравнений.

Уравнения прямой на плоскости

Рассмотрим прямую (рис. 9), перпендикулярную оси Ox (параллельную оси Oy ). Обозначим буквой А точку пересечения этой прямой с осью Ox . (x0 , 0) - ее координаты, где x0 OA . Уравнение x x0 является уравнением этой прямой. Если x0 0 , то прямая совпадает с осью Oy , т.е. уравнение оси Oy x 0 .

y

O A x

x0

Рис.9

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат и произвольная прямая L , не перпендикулярная оси Ox (рис. 10).

M0 (x0 , y0 )

O

Рис. 10

23

Точка M0 (x0 , y0 ) принадлежит этой прямой. Точка M (x, y) - произвольная точка прямой L .

Определение. Углом наклона прямой (к оси Ox ) называется угол, на который нужно повернуть ось x , чтобы она стала параллельной этой прямой.

Определение. Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и обозначается через k , k tg , 0 .

С помощью k можно определить положение прямой (рис. 11)

y y y

Рис. 11

Прямая, не перпендикулярная оси Ox , определяется уравнением:

- уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, где k - угловой коэффициент прямой;

b - отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy , считая от начала координат.

Координаты точки M0 (x0 , y0 ) , лежащей на прямой L , удовлетворяют

M (23, 2) и образующей угол 1200 с осью Ox .

24

Решение:

Чтобы составить уравнение искомой прямой нужно найти k и b . Найдем k :

k tg1200 3 .

Подставим k в уравнение y kx b :

y 3x b .

Найдем b . По условию задачи точка M (23, 2) принадлежит этой

прямой, поэтому для нахождения уравнения данной прямой подставим координаты точки М вместо х и y в это уравнение. Получим:

2 3(23) b;

2 6 b b 4.

Возвращаемся к исходному уравнению и получим уравнение искомой прямой y 3x b .

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M0 (3, 1)

и M1 ( 4, 5) .

25

Ответ: y 52 x 172 .

Определение. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Обозначается n ( A, B) (рис. 10).

В декартовых координатах любая прямая определяется уравнением первой степени Ax By C 0 , и обратно, любое уравнение первой степени определяет некоторую прямую.

Уравнение

называется общим уравнением прямой.

Коэффициенты A и В в общем уравнении прямой Ax By C 0 имеют простой геометрический смысл: они являются координатами нормального вектора n ( A, B) . Все другие нормальные векторы прямой коллинеарны ему.

Уравнение

определяет прямую, проходящую через точку M0 (x0 , y0 ) , перпендикулярную вектору n ( A, B) .

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M ( 2, 1) с нормальным вектором n (3, 2) .

Решение:

y

M

x

n

3 ( 2) 2 1 C 0, 6 2 C 0,

C 4.

Подставляя найденное значение С в уравнение 3x 2y C 0 ,

27

Коэффициенты уравнения Ax By C 0 можно делить и умножать на любое ненулевое число. Если в уравнении Ax By C 0

уравнение By C 0 определяет прямую, параллельную оси Ox (рис.

13в).

Определение. Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой (или лежащий на ней), называется направляющим вектором этой прямой.

Обозначается этот вектор a (l, m) (рис. 10).

Точка M (x, y) принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы M0M (x x0 , y y0 ) и a (l, m) коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны, а именно

Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M0 (1, 2) с направляющим вектором a (0, 1) .

Решение:

Подставим координаты точки M0 (1, 2) вместо x0 и y0 и координаты

Если считать , что параметр t – это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной

скоростью v l2 m2 .

Пример. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0 (1, 2) с направляющим вектором a (0, 1) .

Решение:

Подставляя координаты точки M0 (1, 2) вместо x0 и y0 и координаты направляющего вектора a (0, 1) вместо l и m в уравнения

x x0 lt, y y0 mt , получим

29