Методичка по аналитической геометрии

Сумму двух векторов можно находить и по “правилу параллелограмма” (рис. 6).

Рис.6

Свойства операции сложения:

для любых векторов a, b, c

1)a b b a ;

2)(a b) c a (b c) ;

3)a 0 a ;

4)a ( a) 0 .

Определение. Разностью двух векторов a и b называется вектор a b , определяемый равенством b (a b) a .

Так как b (a ( b)) a , то a b a ( b) .

Определение. Произведением вектора a на число называется вектор a , длина которого равна | a | | | | a |, а направление совпадает

с направлением вектора a , если 0 , и противоположно ему, если0 .

Свойства операции умножения вектора на число:

для любых векторов a и b и любых действительных чисел и

1)1 a a ;

2)( a) ( )a ;

3)( )a a a ;

4)(a b) a b .

Операции сложения и умножения вектора на число называются линейными.

10

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых (или на одной прямой).

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях (или в одной плоскости).

B

A

величина направленного отрезка A1B1 оси l .

Проекция вектора AB на ось l обозначается пр AB .

( AB,l) - угол между вектором AB и осью l .

Под проекцией вектора a на вектор b (обозначается прb a )

понимается проекция вектора a на (любую) ось, имеющую направление вектора b .

Справедливы следующие утверждения:

11

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему

координат Oxyz (рис. 8).

z

С

Рис.8

Вектор r OM называется радиус-вектором точки М. Прямоугольными координатами x, y, z вектора OM называются его

проекции на координатные оси:

базисным векторам i, j, k . Равные векторы имеют равные координаты,

поэтому координаты вектора не зависят от его точки приложения. Прямоугольными координатами любого вектора называются его

проекции на координатные оси.

Если A(xA , yA , zA ) , B(xB , yB , zB ) , то вектор AB имеет координаты:

AB (xB xA , yB yA , zB zA ) . (2.1)

Линейные операции в координатной форме.

1) при сложении векторов их соответствующие координаты складываются:

если a (x1, y1, z1), b (x2 , y2 , z2 ) , то a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ) ;

12

2) при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число:

если a (x, y, z) и , то a (x, y, z) .

Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме.

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.

и , , – углы между вектором a и осями x, y, z соответственно. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора a .

Направляющие косинусы вектора a (x, y, z) равны

Механический смысл скалярного произведения

Cкалярное произведение силы на перемещение равно работе этой силы на этом перемещении.

Скалярное произведение вектора a на себя, т.е. a a , называется

скалярным квадратом вектора a и обозначается через a2 . Справедливы формулы:

Свойства скалярного произведения.

1)ab ba ;

2)(a b)c ac bc ;

3)( a)b (ab) ;

4)aa 0 для любого вектора a 0; aa 0 , если a 0.

Свойства 2) и 3) вместе выражают свойство линейности скалярного произведения по отношению к первому сомножителю. В силу свойства 1) скалярное произведение линейно и по отношению ко второму сомножителю (это означает, что скалярное произведение билинейно).

Угол между векторами a и b находят по формуле

Определение: Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны (угол между ними равен 2 ) или если хотя бы один из них равен нулю.

Условие ортогональности двух векторов

Два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Проекция вектора a на вектор b равна

Скалярное произведение в координатной форме. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

где a (x1 , y1, z1), b (x2 ,y2 ,z2 ) .

14

Определение. (Упорядоченная) тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму (совмещающий их направления) виден с конца третьего вектора происходящим против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов a и b называется вектор a b , длина которого равна

| a b | | a | | b | sin(a,b) ,

а направление определяется двумя условиями: он перпендикулярен каждому из векторов a , b ; тройка a, b, a b – правая.

Векторное произведение двух коллинеарных векторов принимается равным нулю.

Вместо a b применяется и другое обозначение: [a, b] .

Условие коллинеарности двух векторов

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Свойства векторного произведения

1)a b (b a) ;

2)(a b) c a c b c ;

3)( a) b (a b) ;

Векторное произведение в координатной форме

Если a (x1 , y1, z1), b (x2 ,y2 ,z2 ) , то

параллелограмма, построенного на векторах a и b .

Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b, c

называется число abc , равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий вектор c :

15

abc (a b)c .

Вместо abc применяется и другое обозначение: (a, b, c) .

Условие компланарности трех векторов

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения

Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (приложенных к одной точке); если оно положительно, то данная тройка векторов – правая, а если отрицательно, то – левая.

Смешанное произведение в координатной форме

Если a (x1 , y1, z1), b (x2 , y2 ,z2 ), c (x3 , y3, z3) , то

Свойства смешанного произведения

1)Смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух сомножителей;

2)Смешанное произведение линейно по отношению к каждому сомножителю (в частности, линейность по отношению ко второму

16

Решение задач.

1. Найти координаты вектора AB , если А(1,2,3), В(-1,-3,0).

Решение:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца этого вектора вычесть координаты начала, т.е.

AB ( 1 1, 3 2, 0 3);

AB ( 2, 5, 3).

Ответ: AB ( 2, 5, 3).

2. Найти длину вектора AB 2i 4 j 2k.

Решение:

Так как AB 2i 4 j 2k., значит, координаты вектора AB (2, 4, 2) . Длина

вектора AB 22 42 ( 2)2 24 26.

Ответ: AB 26.

3. Коллинеарны ли векторы a ( 1, 2, 4) и b ( 2, 4, 8) ?

Решение:

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их

сумме произведений соответствующих координат этих векторов. Для данных векторов ab 1 2 0 ( 1) ( 1) 3 1.

Ответ: ab 1.

6. Найти угол между векторами a (1, 2, 2) и b (0, 4,3) .

Решение:

cos(a,b) ab . | a | | b |

Найдем скалярное произведение ab :

ab 1 0 2 ( 4) 2 3 2 .

Найдем длину вектора a :

a 12 22 22 3 .

Найдем длину вектора b :

b 02 ( 4)2 32 5 .