Лекция 14 «Магнетизм как релятивистский эффект»

План лекции

1. Магнитная сила — релятивистское следствие закона Кулона.

2. Релятивистские преобразования магнитных и электрических полей.

2.1. Пример 1.

2.2. Пример 2.

При изучении свойств электрических и магнитных полей может сложиться ошибочное впечатление, что это совсем не связанные друг с другом объективные реальности.

Однако уже максвелловская теория электродинамики устанавливает глубокую внутреннюю связь между ними: всякое изменение магнитного поля сопровождается появлением в пространстве вихревого электрического, а переменное электрическое поле является источником магнитного.

Связь магнитного и электрического полей проявляется не только при их изменении во времени. Одно поле переходит в другое при движении полей относительно наблюдателя.

Заряд, неподвижный в лабораторной системе отсчета, создает в пространстве электростатическое поле. Но тот же заряд может рассматриваться движущимся наблюдателем как элементарный электрический ток. Это означает, что в движущейся системе отсчета этот же заряд будет создавать магнитное поле.

Рассмотрим эти интересные эффекты на ряде простых примеров.

1. Магнитная сила как релятивистское следствие закона Кулона

Подробно разберем следующую несложную задачу.

Вдоль прямолинейного тока Iна расстоянииbот него движется со скоростьюVточечный зарядq(рис. 14.1.). Какая сила действует на этот заряд?

Рис. 14.1.

Вначале рассмотрим эту задачу в лабораторной системе отсчета. Проводник с током не несет избыточных зарядов, следовательно, на заряд qдействует только магнитная сила Лоренца (см. 9.11):

. (14.1)

Здесь — вектор магнитной индукции поля прямолинейного токаI.

Hа расстоянии bот проводника индукция такого поля равна (см. 8.7):

В=. (14.2)

Здесь мы воспользовались тем, что , а

Понятно, что — скорость света в вакууме.

Таким образом, мы установили, что на движущийся заряд будет действовать сила, направленная к проводнику с током. Модуль этой силы равен

. (14.3)

Теперь рассмотрим эту же задачу, но в штрихованной системе отсчета, движущейся вместе с зарядом qсо скоростью v (рис. 14.2.).

Рис. 14.2.

В этой системе отсчета заряд неподвижен и поэтому магнитная сила отсутствует.

В лабораторной системе отсчета, как уже отмечалось, проводник не имеет избыточного заряда. Это означает, что линейные плотности положительных и отрицательных зарядов в проводнике одинаковы по величине

В движущейся системе отсчета расстояния между положительными ионами уменьшатся вследствие лоренцева сокращения, поэтому линейная плотность положительных зарядов возрастет и станет равной

(14.4)

Увеличится и линейная плотность отрицательных зарядов — электронов. При этом необходимо учесть, что в проводнике с током отрицательные заряды участвуют в направленном движении со скоростью v_н. Это скорость их движения в неподвижной лабораторной системе отсчета. В движущейся системе отсчета скорость электронов будет выше скорости положительных ионов, поэтому увеличение плотности отрицательных зарядов будет больше, чем положительных.

. (14.5)

Еще раз напомним, что электроны имеют скорость направленного движения v_ни в лабораторной системе отсчета, поэтому в этой системе линейная плотность отрицательного заряда равна

.

Отсюда найдем линейную плотность отрицательного заряда в проводнике при отсутствии тока

. (14.6)

Используя этот результат в (14.5), получим

.

Ведя следующие обозначения

,и,

перепишем последнее уравнение в таком виде:

.

Воспользуемся теперь релятивистским правилом сложения скоростей:

, (14.7)

или

Теперь линейную плотность отрицательных зарядов проводника в движущейся системе отсчета можно представить так:

И, наконец, в окончательном виде:

(14.8)

Теперь подсчитаем линейную плотность заряда на проводнике в движущейся системе отсчета. (Это та величина, которая в лабораторной системе равнялась нулю: =₊+_–= 0).

Но поэтому

Здесь и, значит

. (14.9)

Заметим, что плотность отрицательного электрического заряда связана с силой электрического токаI. Действительно,

I=jS= –ev_нn_еS= –.

Здесь j= — плотность тока,

en_еS= — линейная плотность отрицательного заряда на проводнике.

Отсюда следует, что

Таким образом, линейная плотность заряда на проводнике в движущейся системе отсчета отлична от нуля и равна (см. 14.9)

.

Проводник с такой плотностью заряда создает электростатическое поле, напряженность которого на расстоянии bот проводника равна (см. 2.13)

.

В таком электрическом поле на неподвижный заряд будет действовать сила

. (14.10)

Согласно теории относительности, для наблюдателя в неподвижной системе отсчета эта сила будет равна

. (14.11)

Эта электрическая сила совпадает с той магнитной силой, которая была получена нами ранее (см. 14.3). Таким образом, к «магнитной» силе можно прийти, воспользовавшись только законом Кулона и известными положениями теории относительности.

Подвод итог, модно сделать вывод, что FиF’ — одна и та же сила, только в лабораторной системе отсчета она «магнитная», а в системе отсчета, в которой зарядqнеподвижен, — она «электрическая».

Можно, конечно, создать и такую систему отсчета, в которой одновременно будут присутствовать обе эти составляющие

.