55. Определение сложной и обратной функции, четной и нечетной функции. Тождества, вытекающие из существования обратной функции.

Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Взаимно обратные функции

Пусть дана функция у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости у = f(x) можно переменную х однозначно выразить через переменную у. Выразив х через у, мы получим равенство вида х = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.

Если функция g является обратной для функции f, то и функция является обратной для функции g.

Пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.

График обратной функции

Если мы одновременно построим графики функций f и g в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой у = х.

Свойства взаимно обратных функций

Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.

1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда : f(g(y)) = у и g(f(x)) = х.

2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений функции f совпадает с областью определения функции g.

3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.

4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой у = х.

Функция называется чётной, если справедливо равенство

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/0/c/8/0c8b9a13c609e752ca1ebc8d082d732e.png" \* MERGEFORMATINET

Функция называется нечётной, если справедливо равенство

INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/1/9/219256ce95cb66bc3bf6eeac93666487.png" \* MERGEFORMATINET

56. Элементарная функция

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из основных элементарных функций:

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

57. Определение комплексного числа

Ко́мпле́ксныечи́сла— числа вида INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/2/f/1/2f12ba7cefcda3fc8b7350b087e20cf9.png" \* MERGEFORMATINET , где INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/9/d/d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png" \* MERGEFORMATINETи INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/4/1/5/415290769594460e2e485922904f345d.png" \* MERGEFORMATINET— вещественные числа, INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/8/6/5/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png" \* MERGEFORMATINET— мнимая единица; то есть INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/6/8/5/685245741281622a3f11315dfd81cd98.png" \* MERGEFORMATINET. Множество всех комплексных чисел обычно обозначается INCLUDEPICTURE "http://upload.wikimedia.org/math/f/0/b/f0b01fe0a1eec87c634584ac0694fb71.png" \* MERGEFORMATINET— тесно связанный.