69. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.
70. Определение предела последовательности. Сходящаяся последовательность
Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества , имеющая предел в этом множестве.
Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера.
Свойства сходящихся последовательностей
Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
Если последовательность INCLUDEPICTURE
"http://upload.wikimedia.org/math/5/7/0/570f1f52d590709d39af5bbb04b94d7e.png"
\* MERGEFORMATINET
сходится, но не является бесконечно
малой, то, начиная с некоторого номера,
определена последовательность
INCLUDEPICTURE
"http://upload.wikimedia.org/math/d/7/b/d7b8721a2fe9621a387fabb1365c30f8.png"
\* MERGEFORMATINET
, которая является ограниченной.
Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
71. Определение убывающей числовой последовательности.
Последовательность (Xn) называется убывающей, если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) <Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.
72. Определение возрастающей числовой последовательности.
Последовательность (Xn) называется возрастающей, если для всех натуральных n выполняется следующее равенство X(n+1) >Xn. Другими словами, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть больше предыдущего члена.
73. Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности утверждает, что любая ограниченная возрастающая последовательность имеет предел, причем этот предел равен ее точной верхней грани.
74. 2-ой замечательный предел
INCLUDEPICTURE
"http://upload.wikimedia.org/math/4/3/f/43f6ade0d24423a277883ba08d03afd3.png"
\* MERGEFORMATINET
75. Теоремы о пределах суммы, произведения, частного двух последовательностей.
Теорема о пределе суммы и произведения.
Пусть INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-c7b55af28007ebc1bc391bc2435828ab.gif"
\* MERGEFORMATINET
, INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif"
\* MERGEFORMATINET
— предельная точка множества
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif"
\* MERGEFORMATINET
.
Пусть
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-25a997136155ccf7d1c6eac4978dd864.gif"
\* MERGEFORMATINET
Тогда
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-68e8bd8d1f9f44b2531166f4a7241ccd.gif"
\* MERGEFORMATINET
Доказательство. Возьмем произвольную
последовательность INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-6eca9d45192ff83b8c1d390e698857ae.gif"
\* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-6bfa00756a1fcb02672358bd942d215d.gif"
\* MERGEFORMATINET
.Тогда INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-a55efb60b57b551e47db278405e55415.gif"
\* MERGEFORMATINET
, INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-3566ec16601b82f22f57ed1aec04fe86.gif"
\* MERGEFORMATINET
. По теореме о пределе суммы для
последовательностей
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ff32fa1b88fb806ab5daac7c5c2ebcfc.gif"
\* MERGEFORMATINET
Но так как
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-812caaac68eccb0511b6c6f7b02ebeeb.gif"
\* MERGEFORMATINET
(из определения суммы функций), то
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-3c5ab3a7f99ec07c7228d113a255bead.gif"
\* MERGEFORMATINET
Доказательство второго утверждения аналогично.
Теорема о пределе частного. Пусть
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0fed1139de859f9e9367ff0747bb5a30.gif"
\* MERGEFORMATINET
,
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif"
\* MERGEFORMATINET
— предельная точка множества
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif"
\* MERGEFORMATINET
,
пусть INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-27a38a6f966ed59ff07fd09da2f0d635.gif"
\* MERGEFORMATINET
. Пусть
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-25a997136155ccf7d1c6eac4978dd864.gif"
\* MERGEFORMATINET
Тогда
INCLUDEPICTURE
"http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-dbbaf2e4e2843671a635749fdcdbc738.gif"
\* MERGEFORMATINET
Доказательство аналогично доказательству теоремы о пределе суммы.