Вопрос 34. Уравнение поверхности в пространстве, явное и неявное

Уравнение F(x, у, z) = 0 называется уравнением данной поверхности в пространстве xyz, если эта поверхность есть множество точек этого пространства, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

z=f(x,y) – явное уравнение поверхности в пространстве xyz ( уравнение графика функции f(x,y)).

F(x,y,z)=0 – неявное уравнение поверхности в пространстве xyz.

Вопрос 35. Уравнение сферы

Уравнение сферы с центром A (a; b; c) и радиусом R имеет вид:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Уравнение сферырадиуса r с центром в начале координат:

Вопрос 36. Матрица, ее элементы, обозначение, равенство матриц

Матрицей размера  называется прямоугольная таблица, составленная из  чисел ( строк,  столбцов). 

Числа a_i,j, входящие в состав матрицы, называются ее элементами. Здесь i — номер строки матрицы, j — номер столбца матрицы.

Обозначаются матрицы

Равенство матриц

Две матрицы равны, если эти матрицы имеют одинаковые размеры, и все их соответствующие элементы совпадают.

Вопрос 37. Матрица-строка, матрица-столбец

Матрицей-строкойназывается матрица размером 1хn, т.е. состоящая из одной строки.

Матрицей-столбцомназывается матрица размером mх1, состоящая из одного столбца.

Вопрос 38. Нулевая, квадратная, треугольная, диагональная, единичная матрицы

Матрица 0, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Матрица размера nxn называетсяквадратной матрицей n-го порядка. Элементы а₁₁,а_22,…а_nn квадратной матрицы n-го порядка образуют её главную диагональ, а элементы ………….. – побочную диагональ.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные, ниже (или выше) главной диагонали равны нулю.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой Е.

Вопрос 39. Операции над матрицами

1. Сложение матриц - поэлементная операция

2. Вычитание матриц - поэлементная операция

3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A'

Вопрос 40. Определитель квадратной матрицы, треугольной матрицы, единичной матрицы, произведения матриц

Вопрос 41. Обратная матрица: определение, условие существования, формула для вычисления

Матрица А^-1называется обратной (к) квадратной матрице А, если АА^-1=А^-1А=Е

Для того чтобы для матрицы А существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы А была невырожденной.

Формула для вычисления обратной матрицы

Вопрос 42. Решение матричных уравнений

С помощью обратной матрицы легко решается линейное матричное уравнение вида АХ=В, где А – невырожденная матрица порядка n, В – матрица размера nxk, а Х – искомая матрица. Умножая данное уравнение на А^-1слева, получим:

А^-1(АХ)=А^-1В => (А^-1А)Х=А^-1В => ЕХ=А^-1В => Х=А^-1В

То что матрица Х действительно является решением данного уравнения, легко проверяется путем подстановки ее в данное уравнение:

А(А^-1В)=( А^-1А)В=ЕВ=В,

а его единственность следует из единственности обратной матрицы.

Аналогично, решение уравнения YA=B имеет вид Y=BА^-1.