80. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Что тут сказать… Если существует предел INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/i/beskonechno_malye_funkcii_zamechatelnye_ekvivalentnosti_clip_image002.gif" \* MERGEFORMATINET , то функция INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/i/beskonechno_malye_funkcii_zamechatelnye_ekvivalentnosti_clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINETназывается бесконечно малой в точке INCLUDEPICTURE "http://www.mathprofi.ru/i/beskonechno_malye_funkcii_zamechatelnye_ekvivalentnosti_clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET. не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке.

81. Сравнение бесконечно малых

Пусть a(x) и b(x) - две функции, бесконечно малые в точке x=a. Если

INCLUDEPICTURE "http://webmath.exponenta.ru/dnu/mw/ma/04.files/04Tht11.gif" \* MERGEFORMATINET

то говорят, что a(x) более высокого порядка малости, чем b(x)и обозначают a(x) =o(b(x)).

Если же

INCLUDEPICTURE "http://webmath.exponenta.ru/dnu/mw/ma/04.files/04Tht12.gif" \* MERGEFORMATINET

то b(x) более высокого порядка малости, чем a(x) ; обозначают b(x) =o(a(x)).

Бесконечно малые функции a(x) и b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если

INCLUDEPICTURE "http://webmath.exponenta.ru/dnu/mw/ma/04.files/04Tht13.gif" \* MERGEFORMATINET

обозначают a(x) =const b(x) . И, наконец, если

INCLUDEPICTURE "http://webmath.exponenta.ru/dnu/mw/ma/04.files/04Tht14.gif" \* MERGEFORMATINET

не существует, то бесконечно малые функции a(x) и b(x) несравнимы.

:: Сравнение бесконечно малых функций

Для того, чтобы сравнить две бесконечо малых функции, нужно вычислить предел их отношения.

Вопрос 82. Эквивалентные б.М.Ф., теорема о замене б.М.Ф. На эквивалентные

Вопрос 83. Первый замечательный предел. Следствия.

Первый замечательный предел

Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Вопрос 84. Определение непрерывности функции в точке.

Вопрос 85. Определение приращения функции.

Определение: приращением аргумента называется разность х2 - х1, которую

обозначают символом ∆x (читается: дельта икс). Итак,

∆x = х2 - х1 или х2 = х1 + ∆x .

Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.

Вопрос 86. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y=f(x) непрерывна в точке х₀тогда и только тогда, когда

lim Δx→ 0  Δy= 0.

(2)

Замечание.Условие (2) можно трактовать каквторое определение непрерывности функции в точке. Оба определения эквивалентны.

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале [x₀,x₀+δ).

Функция f(x) называетсянепрерывной справав точкеx₀, если существует односторонний предел

lim x→x0+ 0  f(x) =f(x0).

Пусть функция f(x) определена в полуинтервале (x₀−δ,x₀].

Функция f(x) называетсянепрерывной слевав точкеx₀, если существует односторонний предел

lim x→x0− 0  f(x) =f(x0).