76. Предел функции.

Преде́лфу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

77. Односторонние пределы

Односторо́ннийпреде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́ннимпреде́лом (или преде́ломсле́ва) и правосторо́ннимпреде́лом (преде́ломспра́ва).

Число INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_67.png" \* MERGEFORMATINET называется правым пределом функции INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1252.png" \* MERGEFORMATINETв точке INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_66.png" \* MERGEFORMATINET, если для INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1236.png" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1253.png" \* MERGEFORMATINETтакое, что для любого INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1268.png" \* MERGEFORMATINETи INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1269.png" \* MERGEFORMATINET, выполняется неравенство INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1270.png" \* MERGEFORMATINET. Правый предел обозначается INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1271.png" \* MERGEFORMATINET

Число INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_67.png" \* MERGEFORMATINET называется левым пределом функции INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1252.png" \* MERGEFORMATINETв точке INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_66.png" \* MERGEFORMATINET, если для INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1236.png" \* MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1253.png" \* MERGEFORMATINETтакое, что для любого INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1268.png" \* MERGEFORMATINETи INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1272.png" \* MERGEFORMATINET, выполняется неравенство INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1270.png" \* MERGEFORMATINETЛевый предел обозначается INCLUDEPICTURE "http://www.webmath.ru/poleznoe/images/limit/formules_1273.png" \* MERGEFORMATINET

78. Предел функции при x стремится к бесконечности

79. Теоремы о пределах суммы, произведения, частного двух функций

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций , то есть

INCLUDEPICTURE "http://www.repetitr.h1.ru/math_volume/limits_files/figures/Image28.gif" \* MERGEFORMATINET

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

INCLUDEPICTURE "http://www.repetitr.h1.ru/math_volume/limits_files/figures/Image21.gif" \* MERGEFORMATINET

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

INCLUDEPICTURE "http://www.repetitr.h1.ru/math_volume/limits_files/figures/Image38.gif" \* MERGEFORMATINET

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.