Решение задач одномерной оптимизации методом квадратичной интерполяции

В этом методе целевая функция сначала заменяется квадратичным полиномом. После этого положение минимума целевой функции определяется по положению минимума полинома, что значительно проще.

Пусть целевая функция известна в трех точках

.

Заменим целевую функцию в окрестности этих точек квадратичным полиномом , т.е. коэффициенты этого полинома можно определить из системы трех линейных уравнений, которые надо разрешить относительноa, b, c.

При этом непосредственно определять численные значения коэффициентов a, b, c нет необходимости. В задаче нужно только знать положение минимума квадратичного полинома. Известно, что минимум квадратичного полинома расположен в точке

, при

Решаем эту систему с помощью определителей:

Рассмотрим аспекты практической реализации этого метода.

Пусть задана унимодальная функция f(x), точка -начальная аппроксимация положения минимума иh - шаг, величина которого имеет тот же порядок, что и расстояние от точки до истинного минимума. Вычислительные процедуры в этом случае содержат следующие этапы:

1.вычисляем и

2.а). Если , то в качестве третьей аппроксимирующей точки выбирается точкаи вычисляется;

б). Если , то выбирается точкаи вычисляется.

Такой алгоритм выбора точек обусловлен тем, что мы ищем минимум целевой функции. В случае а), сделав шаг в направлении увеличения х мы обнаруживаем, что целевая функция в этом направлении возрастает, следовательно дальнейшее продвижение в этом направлении не имеет смысла, поэтому в качестве третьей аппроксимирующей точки берется точка . Этим самым учитывается следующее обстоятельство: чем ближе три аппроксимирующие точки будут к точке минимума, тем лучше в этой области квадратичный полином будет описывать свойства целевой функции и тем точнее будет найдена точка минимума за одну итерацию.

3. По трем точкам с помощью формулы (1) находим .

4. Если после упорядочения значений целевой функции модуль разности двух самых минимальных значений целевой функции будет меньше заданной точности , то вычисления прекращаются.

Для непрерывной целевой функции выполняется соотношение , поэтому данное условие окончания поиска часто заменяют на, т.е. вычисления прекращают, когда модуль разности абсцисс двух точек с наименьшими значениями будет меньше или равен. Упорядочить значения целевой функции - это значит присвоить точке с большим значением больший индекс.

Смысл такого окончания поиска заключается в следующем: очевидно, что значения целевой функции во вновь вычисленной точке не может быть больше предыдущего наименьшего значения, т.к. мы ищем минимум целевой функции.

5.Если точность решения задачи на четвертом этапе не достигнута, то точка с наибольшим значением целевой функции отбрасывается, и вновь возвращаются на третий этап, т.е. по оставшимся трем точкам вновь вычисляют точку минимума. Но если оставив точку с наибольшим значением функции мы определим конечные границы интервала, в котором лежит минимум, то следует действительно эту точку оставить и затем вернуться на шаг три.

отбрасываем точку отбрасываем точку

После проведения некоторого количества вычислений абсциссы точек , а также ординаты этих точекбудут достаточно близки друг к другу, поэтому относительная погрешность вычисленийпо формуле (1) будет достаточно большой. Поэтому для вычисленийна второй и последующих интерполяциях используется формула (1) в преобразованном виде:

Этот метод в литературе называется методом Пауэлла.