Числовые характеристики 
дискретных случайных
величин
Закон распределения полностью характеризует
случайную величину, однако часто не известен.
Но для решения многих задач достаточно знать
числовые характеристики случайной величины.
Важнейшая из них – математическое ожидание.
Оно приближенно равно среднему значению случайной величины. Если математическое
ожидание числа выбиваемых очков I-го стрелка
больше, чем у II-го, то I-ый лучше стреляет, чем II- ой.
Характеристикой среднего значения случайной
величины служит математическое ожидание, описываемое формулой:
M ( X ) x1 p1 x2 p2 ... xn pn
Свойства:
1. M(C) = C, C=const
2.M(CX) = CM(X)
3.M(XY) = M(X)M(Y)
4.M(X+Y) = M(X) + M(Y)
Примеры
1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:
Х |
3 |
5 |
2 |
Р 0,1 0,6 0,3
2. |
М(Х) = 3∙0,1 + 5∙0.6 + 2∙0,3 = 3,9 |
|
|||
Х |
-4 |
6 |
10 |
|
|
|
|
||||
|
Р |
0,2 |
0,3 |
0,5 |
|
|
М(Х) = -4∙0,2 + 0,3∙.6 + 0,5∙10 = 6 |
M(Z) = ? |
|||
3. Z = X + 2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3 |
| |
||||
M(Z) = M(X + 2Y) = M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5+6 = 11
Рассмотрим случайные величины Х и У:
Х |
-0,01 |
0,01 |
У |
-100 |
100 |
Р |
0,5 |
0,5 |
Р |
0,5 |
0,5 |
М(Х) = -0,01∙0,5 + 0,01∙0,5 = 0; М(У) = -100∙0,5 + 100∙0,5 = 0
т.е. математические ожидания равны, но возможные значения сильно различаются. Математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.
Для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, используют числовую характеристику, которую называют дисперсией.
Если Х-М(Х) – есть отклонение случайной величины от ее математического ожидания, то дисперсией случайной
величины Х называют математическое ожидание |
|
квадрата |
D( X ) M[ X M ( X )]2 |
Удобнее вычислять дисперсию по формуле:
D(X ) M (X 2 ) [M(X )]2
Свойства:
1.D(C) 0
2.D(CX ) C2 D( X )
3.D( X Y ) D( X ) D(Y )
Примеры
1.Найти дисперсию случайной величины Х , которая
задана следующим законом распределения:
Х |
1 |
2 |
5 |
Р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
M (x) 1 0,3 2 0,5 5 0,2 2,3 |
[M (X )]2 5,29 |
|||
X |
2 |
1 |
4 |
25 |
|
|
|
|
|
Р 
0,3 
0,5 
0,2
М ( Х 2 ) 0,3 1 0,5 4 0,2 25 7,3
D( X ) M ( X 2 ) [M ( X )]2 7,3 5,29 2,01
Примеры
2. |
2 |
3 |
5 |
Х |
Р |
0,1 0,6 |
0,3 |
, D(X) = ? |
|
M (x) 2 0,1 3 0,6 5 0,3 3,5 |
[M ( X )]2 12,25 |
|||
X |
2 |
4 |
9 |
25 |
|
|
|
|
|
Р 
0,1 
0,6 
0,3
М ( Х 2 ) 4 0,1 9 0,6 25 0,3 13,3
D(X) = 13,3 – 12,25 = 1,05
Примеры
Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:
Х |
-1 |
1 |
2 |
3 |
У |
-1 |
1 |
2 |
3 |
Р |
0,48 |
0,01 |
0,09 |
0,42 |
Р |
0,19 |
0,51 |
0,25 |
0,05 |
М( Х ) 0,48 0,01 0,18 1,26 0,97
М(У ) 0,19 0,57 0,5 0,15 0,97 М ( Х ) М (У )
D( X ) M ( X 2 ) [M ( X )]2 0,48 0,01 0,36 3,78 (0,97)2 3,69 D(У ) M (У 2 ) [M (У )]2 0,19 0,51 1 0,45 (0,97)2 1,21
т.е. D( X ) D(У )
В тех случаях, когда желательно, чтобы оценка
рассеяния имела размерность случайной величины, |
|
вычисляют не дисперсию, а среднее |
(х) |
квадратическое отклонение
(х) D( X )
ПРИМЕРЫ:
1.
Х 2 3 10
Р 
0,1 
0,4 
0,5
, (х) ?
М ( Х ) 2 0,1 3 0,4 10 0,5 6,4 [M ( X )]2 40,96; M ( X 2 ) 4 0,1 9 0,4 100 0,5 54
D( X ) 54 40,96 13,04( X ) 
13,04 3,61
2.
Х -5 2 3 4
Р 
0,4 
0,3 
0,1 
0,2
D( X ), ( X ) ?
М ( Х ) 5 0,4 2 0,3 3 0,1 4 0,2 2 0,6 0,3 0,8 0,3 [M ( X )]2 0,09;
M ( X 2 ) 25 0,4 4 0,3 9 0,1 16 0,2 10 1,2 0,9 3,2 15,3 D( X ) 15,3 0,09 15,21
( X ) 
15,21 3,9
Да-а-а…