Лабораторная работа n1. Определение удельного сопротивления полупроводниковых материалов четырехзондовым методом.

Цель работы: Ознакомится с методикой измерения удельного сопротивления п/п четырехзондовым методом. Измерить удельное сопротивление п/п материалов.

1.Теория метода.

Измерение удельного сопротивления 4-х-зондовым методом сводиться к установлению 4 точечных контактов, на плоской поверхности исследуемого образца, рис.1.

Рис.1. Схема четырехзондового метода из­мерения удельного сопротивления.

Обычно через наружные зонды (1 и 4) пропускают ток, а внутренние (2 и 3) служат для измерения возникающего падения напряжения. Четырехзондовый метод имеет ряд преимуществ при измерении удельного сопротивления, благодаря чему он нашел широкое применение в различных областях науки и техники:

1. Измерение проводятся быстро, не разрушая образец;

2. Четырехзондовый метод позволяет производить измерения на образцах, имеющих неправильную геометрическую форму;

3. Можно проверить неоднородность электрических свойств образца, т.к. каждое изме­рение локально;

4. Использование точечных контактов, соприкасающихся с грубо обработанной поверхностью, приводит к уменьшению ошибок, связанных с инжекцией, т.к. на таких поверхностях в случае точечного контакта скорость поверхностной рекомбинации велика.

Получим выражение, связывающее разность потенциалов между зондами 2-3 с протекающем через образец током. Для этого поместим в одну из точек поверхности полубесконечного образца токовый зонд через который протекает ток I, и подсчитаем потенциал, создаваемый протекающим током в другой точке образца.

Запишем уравнение непрерывности, и уравнение связывающее плотность тока в образце с напряженностью электрического поля в образце:

J=0 (1)

J=E , (2)

где J - плотность тока,  - удельная проводимость материала образца, E- напряженность электрического поля в образце.

Уравнения (l) и (2) можно представить в следующем виде:

J=E=E=-²U (3)

или ²U=0, (4)

где U - потенциал в какой-нибудь точке полупроводника. Уравнение Лапласа (4) удобнее записывать в сферических координатах, т.к. линии равного потенциала в рассматриваемом случае представляют собой полусферы:

(5)

Ось Ζ будем считать совпадающей с осью зонда, а начало координат помещенным в центре основания этого зонда, рис.2:

Рис.2. Расположение токового зонда относительно системы координат.

Для изолированного источника тока в сферических координатах справедливо соотношение: . Кроме того, следствием существования симметрии относительно оси Z является равенство нулю первой и второй производной по углу : , .

С учетом этого уравнение (5) примет вид:

(6)

При решении уравнения (6) учтем, что ток I распространяется в полубесконечном объеме материала (верхняя граница образца – изолятор), а потенциал U равен нулю в бесконечности. В результате интегрирования уравнения (6) получаем:

(7)

Константа C₁ может быть оценена из знания величины электрического поля E при r = r₀:

(8)

Запишем выражение для плотности тока:

(9)

В качестве площади поверхности через которую проходит ток берем площадь полусферы, т.к. ток распространяется лишь в полубесконечном объеме материала.

Следовательно:

,

с учетом этого можно записать:

(10)

Интегрирование уравнения (10) дает следующее выражение для потенциала создаваемого при протекании тока I в полубесконечном образце на расстоянии r от токового зонда:

где учтено, что U = 0 при . Таким образом, потенциал, создаваемый токовым зондом 1 в точке расположения зонда 2, равен:

где S₁ - расстояние между зондами 1 и 2, см. рис. 1.

Если обозначить расстояние между зондами 2 и 3 через S₂, а между зондами 3 и 4 - S_3, то потенциал, создаваемый в точке расположения зонда 2 зондами 1 и 4, равен:

Потенциал, создаваемый в точке 3 зондами 1 и 4, равен:

Разность потенциалов между зондами 2 и 3 выразится следующем соотношением:

Тогда удельное сопротивление материала образца равно:

(11),

где - удельное сопротивление,U - разность потенциалов между зондами 2 и 3, I – ток, протекающий через зонды 1 и 4, S – расстояние между зондами.

В случае применения измерительной головки, у которой расстояния между зондами одинаковое (S₁=S₂=S₃=S), удельное сопротивление можно рассчитать, используя следующее выражение:

(12)

Рассмотренный выше случай справедлив для полубесконечного образца, когда верхняя граница являлась изолятором. В частных случаях материал может быть ограничен как проводящей, так и непроводящей границами, а зонды могут быть расположены параллельно или перпендикулярно к проводящим боковым границам. В этих случаях нужно пользоваться поправочными коэффициентами, учитывающими расстояние зондов от границ и толщину образца.

Для уменьшения погрешности измерений в случае реальных образцов, необходимо выполнение следующих условий:

а) диаметр контакта ( d ) в месте соприкосновения с поверхностью п/п должен быть мал по сравнению с расстоянием между зондами ( S ). При d/S 0,05 удельное сопротивление ρ измеряется с погрешностью менее 2%;

б) зонды должны быть достаточно удалены от границ исследуемого образца. Отношение расстояния от крайнего зонда до границы образца к расстоянию между зондами должно составлять не менее 2,5-3 для того, чтобы ошибка измерения не превышала 5%;

в) поверхность образца должна быть грубо обработанной – это приводит к снижению влияние поверхностной проводимости.