![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
- •1.1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении
- •1.2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов
- •Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка учащимися
- •Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
- •1.1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении
- •Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
- •Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Исследование свойств окружности по её уравнению
- •2) Симметрия окружности:
- •Исследование свойств эллипса по его уравнению
- •1) Пересечение эллипса с осями координат:
- •2) Симметрия эллипса относительно координатных осей ox и oy:
- •4) Эксцентриситет эллипса:
- •2) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и:
- •3) Асимптоты гиперболы:
- •4) Фокусы гиперболы:
- •Линии второго порядка в элементарной математике
- •1.2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов
- •1.2.1. Анализ содержания темы «Линии 2го порядка» в школьных учебниках. (учебники по алгебре под редакцией г. В. Дорофеева, ш. Ф. Алимова, а. Г. Мордковича)
- •1.2.2. Особенности изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры
- •Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка учащимися
- •2.1. Систематизация цор, содержащих линии второго порядка
- •2.2. Особенности использования цор в изучении линий второго порядка на уроках алгебры
- •Плюсы и минусы при использовании икт на уроках
- •Вывод уравнения окружности
- •Изображение окружности
- •Вывод уравнения эллипса
- •Изображение эллипса
- •Изображение гиперболы
- •Вывод уравнения параболы
- •Изображение параболы
Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
1.1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении
Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
Аналитическая
геометрия описывает свойства линий на
плоскости через их уравнения.
В аналитической
геометрии
систематически исследуются так называемые
алгебраические линии второго порядка
(эти линии в декартовых прямоугольных
координатах определяются соответственно
алгебраическими уравнениями второй
степени). Линии второго порядка
определяются уравнениями вида
.
Основной метод исследования и классификации
этих линий заключается в подборе такой
декартовой прямоугольной системы
координат, в которой уравнение линии
имеет наиболее простой (канонический)
вид, удобный для исследования.
Определение
1. Линией
второго порядка
называется множество всех точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют
уравнению:
где
A,B,C,D,E,F — вещественные коэффициенты,
причем
.
Исследуем уравнение и узнаем, что представляет собой произвольная линия второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
Для исследований приведем общее уравнение линии второго порядка к одному из канонических видов.
Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.
Пустькоординаты точкиM
в системе координат XOY.
Повернем оси координат на угол
в положительном направлении и обозначим
(x', y') координаты точкиM
в новой системе координат X'OY'.(чертеж
1.)
Чертеж 1.
Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:
(так
как
);
(2)
(так
как
);
(3)
Рассмотрим
.
Так как он прямоугольный, то
,
.
(4)
Рассмотрим
теперь
.
Он также прямоугольный, поэтому
,
.
(5)
Таким
образом, с учетом того, что
,
из равенств (2)-(5) получим:
(6)
Следовательно,
система (6) представляет собой выражение
старых координат
через
новые
при поворотеXOY
на угол α вокруг О (0,0).
Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол α в формулах (6) заменить на угол (−α), так как при повороте системы координат X′OY ′ на угол (−α) мы получим систему XOY .
Подставим формулы (6) в уравнение (1), получим:
Соберем
коэффициенты при соответствующих
неизвестных.
При
,
получим:
,
При
:
,
(7)
При
:
,
При
:
,
При
:
.
Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:
(8)
Подберем
угол
таким
образом, чтобы коэффициент
.
Из (7) следует, что
поэтому
После данного преобразования уравнение (1) примет вид:
.
(9)
Докажем, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:
(10)
Так
как мы подобрали угол α так, что
,
то из (10) следует, что
.
(11)
Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три
случая:
1)
(эллиптический случай);
2)
(гиперболический случай);
3)
(параболический случай).
Подробнее
рассмотрим эллиптический случай.
Из
следует,
что
,
то есть знаки
совпадают.
Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные
квадраты при неизвестных x′, y′, получим:
Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:
,
(12)
где
Положим
,
тогда уравнение (12) примет вид:
.
(13)
Пусть
. Разделим обе части уравнения (13) на
, получим:
(14)
Так
как
и
,
то предположим, что
.
(15)
Из
(14) и (15) следует, что мы получили
каноническое уравнение эллипса
Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.
Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка
, то есть точка с координатами
Рассмотрим
гиперболический случай. Из
следует, что
,
то есть числа
имеют
разные знаки. Выполняя аналогичные
преобразования, как и для эллиптического
случая, получим уравнение кривой:
Предположим, что
. Отсюда:
(16)
Так
как
и
разных знаков, следовательно , одна из
скобок больше нуля, другая скобка меньше
нуля. Пусть
(17)
тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:
При
уравнение принимает вид:
(18)
Пусть
,
тогда
и уравнение (18) примет вид:
откуда
Таким образом, получили уравнения двух
пересекающихся прямых.
Рассмотрим
параболический случай. Так
как
,
то
.
Пусть
. Так как после поворота
, то уравнение (9) преобразуется до вида:
(19)
Соберём
члены, содержащие
,
и дополним их до полного квадрата:
тогда
уравнение (19) примет вид:
или
,
(20)
где
.
Из (20) следует, что
Рассмотрим два случая:
Пусть
, тогда
, то есть
(21)
где
Положим
,
тогда уравнение (21) примет вид:
Это каноническое уравнение параболы, симметричной относительно
оси (OY ).
Пусть
, тогда уравнение (20) перепишется в виде
(22)
1.
Если
,
то получим уравнение оси (OY )
.
2.
Если
,
то возможны два случая. Если A′ и F′
одного знака, то точек, удовлетворяющих
данному уравнению, нет; если же A′ и F′
разных знаков, то
,
где
,
поэтому
и уравнение (22) описывает две параллельные
прямые:
b)
Пусть
,
тогда уравнение (9) примет вид
(23)
Если
,
а
,
то точек, удовлетворяющих уравнению
(23), нет; если же
или
отличны от нуля, то уравнение (23) описывает
прямую.
Вывод. Путем преобразований кривой второго порядка, определяемой уравнением (1) мы можем получить уравнения таких линии второго порядка, как:
- уравнение эллипса
- уравнение гиперболы
- уравнение параболы
- совокупности двуз пересекающихся прямых
- совокупности двух параллельных прямых
Содержание темы «Линии второго порядка» в элементарной математике
В математике рассматриваются линии второго порядка, как конические сечения: окружность, эллипс, гипербола, парабола; или как множество точек обладающих некоторыми свойствами.
Рассмотрим каждую линию второго порядка подробнее, определяя линии как множество точек.
ОКРУЖНОСТЬ
Определение 1.1. Окружность - множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки М0, называемой ее центром.[9.С.65]
Общий
вид уравнения