![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
- •1.1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении
- •1.2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов
- •Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка учащимися
- •Глава I. Теоретические и методические аспекты изучения линий второго порядка
- •1.1. Теория линий второго порядка и использования икт в обучении
- •Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии
- •Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Исследование свойств окружности по её уравнению
- •2) Симметрия окружности:
- •Исследование свойств эллипса по его уравнению
- •1) Пересечение эллипса с осями координат:
- •2) Симметрия эллипса относительно координатных осей ox и oy:
- •4) Эксцентриситет эллипса:
- •2) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и:
- •3) Асимптоты гиперболы:
- •4) Фокусы гиперболы:
- •Линии второго порядка в элементарной математике
- •1.2. Методические аспекты изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры 7-9 классов
- •1.2.1. Анализ содержания темы «Линии 2го порядка» в школьных учебниках. (учебники по алгебре под редакцией г. В. Дорофеева, ш. Ф. Алимова, а. Г. Мордковича)
- •1.2.2. Особенности изучения линий второго порядка в школьном курсе алгебры
- •Глава II. Практическое применение икт при изучении линий второго порядка учащимися
- •2.1. Систематизация цор, содержащих линии второго порядка
- •2.2. Особенности использования цор в изучении линий второго порядка на уроках алгебры
- •Плюсы и минусы при использовании икт на уроках
- •Вывод уравнения окружности
- •Изображение окружности
- •Вывод уравнения эллипса
- •Изображение эллипса
- •Изображение гиперболы
- •Вывод уравнения параболы
- •Изображение параболы
Вывод уравнения окружности
Введем прямоугольную систему координат так, что:
М0(x0;y0) - центр окружности, совпадающий с началом системы координат и
. Пусть
- текущая точка окружности.(чертеж 2.)
Чертеж 2.
Если центр окружности находится в начале координат, то x0=0, y0=0. В этом случае уравнение окружности имеет вид:
,
так
как
по
определению окружности и
.
b)
Пусть
не
совпадает с началом системы координат.
По построению окружности:
=
тогда
или возведя обе части в квадрат получим:
(1)
где
уравнение окружности радиусаR
c
центром в точке
с координатами
(чертеж
3.)
Иногда
уравнение окружности пишут так:
-
канонический вид уравнения окружности
с центром в точке
с координатами
и
радиусом R.
Чертеж 3.
Изображение окружности
Построим окружность центром в точке
и радиусом равным 1.
Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 1.(чертеж 4.)
Чертеж 4.
b) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:
Уравнение
окружности имеет вид:
.
Для построения линии в программеMathcad
уравнение нужно привести к виду:
(чертеж
5.)
Чертеж 5.
Построим окружность центром в точке
и радиусом равным 5.
Построение без использования ИКТ: Для построения окружности задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим циркулем окружность с центром О и радиусом, равным 5.(чертеж 6.)
Чертеж 6.
b) Построение с использованием ЭСО- Mathcad:
Уравнение
окружности имеет вид:
.
Для построения линии в программеMathcad
уравнение нужно привести к виду:
(чертеж
7.)
Чертеж 7.
Вывод уравнения эллипса
Введем
прямоугольную систему координат. Пусть
фокусы эллипса лежат на оси Х,
причем
т. Е.
– межфокусное расстояние эллипса.
(чертеж
8.)
[8.С.467]
Чертеж 8.
Пусть
– произвольная точка эллипса. Величины
называютсяфокальными
радиусами
точки М
эллипса. По определению эллипса: r1
+ r2
= 2a,
а
> c.
Из прямоугольных треугольников, по
теореме Пифагора, имеем:
(2)
Преобразуем
уравнение, умножим уравнение (2) на
,
получим:
(3)
Сложим уравнения (2) и (3):
(4)
Возведем равенство(4) в квадрат, получим:
Пусть
так как
,
откуда уравнение имеет вид:
где (5) каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат.
Соответственно, отсюда получаем уравнение:
где
каноническое уравнение эллипса с центром
в точке
.
Где числа а и b
соответственно большая и малая полуоси
эллипса. Заметим,
что а
>с
Если а
<
,
то фокусы эллипса будут лежать на осиОУ,
если а
=
,
то эллипс превращается в окружность.
Точки
,
называютсявершинами
эллипса.
Отметим, что эллипс целиком расположен
внутри прямоугольника, ограниченного
прямыми
Изображение эллипса
Построим эллипс с центром в точке
и с большей осью равной 14 и меньшей осью равной 10.
Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=14,2b=10 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-7;0),(7;0),(0;-5),(0;5) принадлежали эллипсу.(чертеж 14.)
Чертеж 14.
С использованием ЭСО- Mathcad:
Полученное
уравнение эллипса имеет вид:
.
Для построения линии второго порядка
в программеMathcad
приводим уравнение к виду:
(чертеж
15.)
Чертеж 15.
Дано параметрическое уравнение эллипса
, построить данную линию второго порядка.
Построение без использования ИКТ: Для построения эллипса построим прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Построим прямоугольник со сторонами 2a=8,2b=14 и впишем в него эллипс так, чтобы координаты точек (-4;0),(4;0),(0;-7),(0;7) принадлежали эллипсу.(чертеж 16.)
Чертеж 16.
С использованием ЭСО- Mathcad:
Для
построения линии в Mathcad
приведем ее к виду:
,
.(чертеж
17.)
Чертеж 17.