Кооперативные решения

№60. В некотором районе имеется три предприятия, каждое из которых нуждается в проводке теплоцентралей. Предприятия могут провести теплоцентрали отдельно друг от друга, а могут объединиться в группы – коалиции. Если предприятие i=1.2.3 прокладывает централь самостоятельно, то затраты составят 100, 200, 300 единиц соответственно. Если 1-е и 2- предприятие объединяться, то их общие затраты составят 250 единиц. Если 1-е и 3-е объединяться, то затраты составят 350 единиц. Если 2-е и 3-е объединятся, то затраты составят 460 единиц. Если все три предприятия объединяться, то затраты составят 580 единиц. Найти все решения, которые могут принять предприятия как рациональные субъекты.

Решение.

Возможны следующие коалиции:

– первое предприятие; – второе предприятие; – третье предприятие;

– первое и второе; – первое и третье; – второе и третье;

– первое, второе и третье

Обозначим – суммарные затраты на проводку теплоцентралей коалициейK. получим, что – затраты на проведение теплоцентралейi-м предприятием , если оно действует в одиночку.

Рассмотрим условия, при которых первому и второму предприятию выгодно объединиться в коалицию . Общие затраты=250 будут поделены между первым и вторым предприятиями (необязательно поровну). Обозначим– затраты первого предприятия,– затраты второго предприятия. Очевидно, что

(3.1)

Каждое предприятие сопоставляет свои затратыс теми затратами, которые оно понесло, если бы не вступило в коалицию. Для обоих предприятий условием вступления каждого из них в коалицию будет выполнение следующих неравенств:

(3.2)

Необходимым условием для этого служит неравенство:

(3.3)

Неравенство выполняется, т.к. 250<100+200.

Так же справедливы неравенства 350<100+300, 460<200+300, поэтому могут возникнуть все коалиции ,и.

При каких условиях возможна коалиция, состоящая из всех трех предприятий?

Пусть – затраты каждого из предприятия в коалиции т.е.

(3.4)

Условием, при котором коалиции будет выгодно принять к себе 3-е предприятие, и при этом вхождение в коалицию будет выгодно 3-му предприятию, будет система неравенств

(3.5)

(3.6)

Из системы следует, что + 300≥v(). Это неравенство не выполняется, т.к. 250+300<580. Аналогично можно сравнить коалицию с двумя другими попарными коалициями.Следовательно, коалиция менее выгодна участникам, чем любые попарные коалиции.

Ответ. Оптимальными решениями будут коалиции, объединяющие различные пары предприятий.

Типовой расчет по теории игр. Тема:кооперативное решение.

Условия задачи.

Экономика состоит из двух агентов, совершающих добровольный обмен на наборах из двух товаров A и B. Функции полезности 1 и 2 агентов заданы уравнениями

, , где - количество товара A у агента i , - количество товара B у агента i. Суммарные количества товаров A и B ограничены: , где - положительные константы. Первоначально 1 агент владеет товарами A и B в количествах соответственно, причем . Агент 2 владеет оставшимися количествами товаров. Агенты вступают в добровольный обмен, увеличивающий их полезности. Решениями называются наборы товаров, поступающих в распоряжения каждого из агентов после обмена. Предполагается, что трансакционные издержки равны нулю, информация агентов совершенна.

Задание.

1. В модели Эджворта найти контрактную кривую, точку угрозы, переговорное множество;

2. В системе координат найти уравнение, связывающее полезности агентов для решений, оптимальных по Парето;

3. В той же системе координат построить кривую оптимальных по Парето решений, найти точку угрозы, переговорное множество;

4. Найти арбитражное решение (решение Нэша);

5. Найти количества товаров A и B, которыми должны владеть агенты согласно арбитражному решению;

6. Показать, что для любого решения, не лежащего на контрактной кривой, найдется другое решение, которое эффективнее по Парето, чем первое.

Указание. Значения констант для каждого из 10 вариантов приведены в следующей таблице в соответствующей строке.

№ варианта	α	a	b	k1	k2	x0	y0
1	1/3	8	27	2	3	0	27
2	2/3	64	27	1	2	27	8
3	1/2	25	100	2	1	16	36
4	1/4	16	81	3	4	16	0
5	1/2	100	169	1	2	64	25
6	1/3	27	8	3	2	27	0
7	2/3	8	64	2	3	1	27
8	1/2	100	25	4	3	64	9
9	1/4	81	256	1	1	16	225
10	1/2	169	25	3	4	144	9

Творческая часть задания. Ответьте на вопросы:

1. Пусть 1^й агент имеет преимущество в переговорной силе, т.е. может диктовать свои условия. Каким в этом случае будет решение игры?

2. Чему при этом будут равны полезности агентов?

3. Почему в этом случае 2^му агенту выгоднее принять условия, которые диктует 1 агент, чем оставаться в начальном положении?

4. Почему агент, имеющий преимущество в переговорной силе, не может захватить все ресурсы в условиях добровольного обмена?

5. Влияет ли соотношение переговорных сил агентов на арбитражное решение?