§2.2.4. Эффективность по Парето2

Если интересы игроков не противоположны, то в игре могут существовать исходы, один из которых предпочтительнее других с точки зрения всех игроков. Рассмотрим уже известный пример «Дилемма заключенных».

Пример. «Дилемма заключённых» (см §1.1).

Таблица 8

первый заключ.
		сознаваться		не сознаваться
второй заключ.	сознаваться		-5; -5			-1; -10
	не сознаваться		-10; -1			-2; -2

Решение. Выпишем матрицу игры и найдём равновесие по Нэшу.

Таблица 9

Равновесный по Нэшу исход (-5; -5) является менее выгодным для обоих участников, чем (-2; -2). Если бы игроки могли договориться, то они отказались бы от своих равновесных стратегий, чтобы перейти к более эффективному для каждого из них исходу (-2;-2).

Принцип эффективности по Парето позволяет сравнивать исходы игры попарно, пользуясь следующим определением.

Исход 1 называют более эффективным по Парето исходом, чем исход 2, если, переходя от исхода 2 к исходу 1, увеличивается выигрыш хотя бы одного игрока, а выигрыши других игроков, по крайней мере, не уменьшаются.В этом случае говорят, что исход 1 доминирует по Парето исход 2.

В биматричной игре доминирование по Парето исхода (l;k) над исходом (p;q) означает, что - либо верны неравенства a_lk> a_pq и b_lk≥ b_pq, либо верны неравенства b_lk> b_pq и a_lk≥ a_pq.

Если в игре существует исход, который доминирует по Парето все остальные исходы, то его называют Парето-оптимальным исходом. Легко проверить, что Парето-оптимальный исход, если он существует, является равновесным по Нэшу.

В рассмотренных выше примерах нет Парето-оптимальных исходов, но есть исходы, доминируемые по Парето всеми другими исходами. Например, в игре «Семейный спор» это исход (0;0).

Исходы, равновесные по Нэшу, могут быть не эффективными по Парето, и наоборот, что мы видим в примере «Дилемма заключенных». Наличие в игре Парето-оптимального исхода, или наличие исхода, доминируемого по Парето всеми другими исходами, создают предпосылки для выработки игроками совместных решений, то есть для создания коалиций. Однако, даже в случае бескоалиционной игры, игроки, как мы покажем в следующей лекции, имеют возможности избежать невыгодных для всех исходов.

§2.2.5. Повторяющиеся игры. Применение к микроэкономике.

Пусть одни и те же условия игры с теми же игроками воспроизводятся многократно. В таком случае мы имеем расширение игры, которое называют повторяющейся игрой. Нетрудно заметить, что в повторяющейся игре смешанные стратегии могут применяться как частоты использования чистых стратегий. Возможность использования смешанных стратегий не является единственным преимуществом повторяющейся игры.

При повторении одной и той же игровой ситуации (при многократном разыгрывании игры) изменяются мотивы рационального поведения участников игры: во-первых, каждый из участников получает представление о предпочтениях другого участника; во-вторых, каждый участник, выбирая свою стратегию на некотором n-м шаге, даёт ответ на выбор другого участника на шаге. В игре возникают коммуникации между участниками. Подавая сигнал в виде выбранной на очередном шаге стратегии, этого, участник может влиять на выбор стратегии партнером на следующем шаге. Таким образом, в повторяющейся игре возникают предпосылки к совместному выбору стратегий, т.е.кооперации. Однако, существование этих предпосылок совсем не гарантирует того, что участники игры смогут кооперироваться.

Эти обстоятельства имеют большое значение при анализе рынков с олигополистической конкуренцией (дуополия). Рассмотрим пример.

Пример. «Назначение цены». Две фирмы, выпускающие однотипный продукт, конкурируют друг с другом, устанавливая различные цены на свою продукцию. Выпуски фирм считаем заданными и неизменными. Такая конкуренция двух дуополистов называется ценовой конкуренцией или конкуренцию по Бертрану³.

Для простоты будем считать, что каждая фирма выбирает одну из двух стратегий: низкая цена, высокая цена. Будем также считать, что фирмы назначают цену в начале каждого месяца независимо друг от друга. Так как продукт фирм однотипен, то потребитель будет осуществлять выбор, исходя только из цены. Та фирма, которая назначит более высокую цену, понесет убытки. С другой стороны, более высокая цена даст большую прибыль при условии, что на продукцию фирмы будет спрос. Прибыли фирм для каждого из возможных исходов приведем в таблице 9.

Таблица 9

фирма 1
		низкая цена		высокая цена
фирма 2	низкая цена		10; 10			100; -50
	высокая цена		-50; 100			50; 50

Решение. Выпишем матрицу игры и найдём равновесие по Нэшу.

Таблица 10

Равновесным по Нэшу исходом будет (10;10), а равновесными стратегиями – назначение низкой цены. Таким образом, дуополия Бертрана дает тот же эффект, что и совершенная конкуренция – снижение цены до уровня предельных издержек. Что мешает фирмам принять наиболее эффективную для них стратегию высоких цен с выигрышами? Исход (50;50) не является равновесным по Нэшу, поэтому, даже если фирмы договорятся об установлении высокой цены, каждой фирме в отдельности будет выгодно снижать цену. Ценовый сговор запрещён антимонопольным законодательством, но дуополия Бертрана показывает, что препятствием для сговора служит конкуренция. «Сговор разрушается зубилом конкуренции»э

Известны, однако, практические примеры, что олигополии воздерживаются от снижения цены в течение длительного времени. Следовательно, у фирм в условиях олигополии есть возможность координации действий. Как осуществляется эта координация, и может ли возникать исход, равновесный по Нэшу и эффективный по Парето?

Р. Аксельрод дал ответ на этот вопрос, предложив в повторяющейся игре стратегию «Зуб за зуб». Рассмотрим эту стратегию на примере «Дилемма заключенных» (таблица 333), предполагая, что данная ситуация разыгрывается бесконечное число раз.

Таблица 11

	стратегии второго заключенного
стратегии первого заключенного	2	сознаться	не сознаться
	1
	сознаться	-4; -4	-1; -7
	не сознаться	-7; -1	-2; -2

Обозначим t=0,1,2… очередной шаг игры, H_it – выигрыш игрока i (i=1,2) на шаге t, H_it принимает значения из таблицы 333 в зависимости от стратегий игроков на шаге t. Эти стратегии будем обозначать S_it (i=1,2). Выигрыш каждого игрока i (обозначим H_i) будет складываться из его выигрышей на всех шагах игры H_it, однако, с учетом дисконтирования (снижения цены) выигрыша на каждом последующем шаге. Дисконтированные суммы часто применяются в экономических расчетах и основаны на соображении, что будущие прибыли значат для их получателя меньше, чем прибыли в настоящий момент, то же касается и убытков. Потому будем считать, что выигрыш игрока i на шаге t будет им оцениваться в момент (t-1), как величина d·H_it, где 0<d<1. Величина d называется коэффициентом дисконтирования. Дисконтированная сумма выигрыша игрока i от всей игры будет определяться по формуле

H_i= H_i0+ d·H_i1+ d²·H_i2 +…+ d^t·H_it+… (2.13)

Стратегия «Зуб за зуб» состоит в следующем выборе стратегий S_it (i=1,2) на каждом шаге t:

Если на шаге (t-1) хотя бы один из игроков применил стратегию «сознаваться», то стратегия S_it будет «сознаваться»;

Если на шаге (t-1) оба игрока применили стратегию «не сознаваться», то стратегия S_it будет «не сознаваться».

Очевидно, что результат всей игры будет зависеть от стратегий, выбранных игроками на начальном шаге t=0.

Если S_1,0= «сознаваться» и S_2,0= «сознаваться», то все последующие стратегии будут «сознаваться», тогда

H₁= H₂= -4 - d·4 - d²·4-…- d^t·4-…=-4/(1- d), (2.14)

по формуле суммы геометрической прогрессии.

Если S_1,0= «не сознаваться» и S_2,0= «не сознаваться», то все последующие стратегии будут «не сознаваться», тогда

H₁= H₂= -2 - d·2 - d²·2-…- d^t·2-…=-2/(1- d). (2.15)

Если S_1,0= «сознаваться» а S_2,0= «не сознаваться», то все последующие стратегии будут «сознаваться», тогда

H₁= -1 - d·4 - d²·4-…- d^t·4-…=-1-4d /(1- d), H₂=-7-4d /(1- d). (2.16)

Если S_1,0= «не сознаваться» а S_2,0= «сознаваться», то все последующие стратегии будут «сознаваться», тогда

H₂= -1 - d·4 - d²·4-…- d^t·4-…=-1-4d /(1- d), H₁=-7-4d /(1- d). (2.17)

Таким образом, в зависимости от начальных стратегий игроков возможны 4 исхода, представленные в таблице 12.

Таблица 12

	стратегии второго заключенного
стратегии первого заключенного	2	сознаться	не сознаться
	1
	сознаться	-4/(1- d); ----4/(1- d)	-1-4d /(1- d); -7-4d /(1- d)
	не сознаться	-7-4d /(1- d); -1-4d /(1- d)	-2/(1- d); -2/(1- d)

Исход (-2/(1- d);-2/(1- d)) является оптимальным по Парето, этот исход будет равновесным по Нэшу тогда и только тогда, когда справедливо неравенство -2/(1- d)≥-1 -4d/(1- d), что верно при d≥1/3.

Итак, при достаточно большом коэффициенте дисконтирования стратегия «Зуб за зуб» делает наиболее благоприятный для всех игроков исход равновесным по Нэшу: если один заключенный не сознается, то другому также выгодно не сознаваться.

Применительно к примеру «Назначение цены» стратегия «Зуб за зуб» имеет следующий смысл. Если игра «Назначение цены» разыгрывается бесконечное число раз, то один из предпринимателей начинает с высокой цены и удерживает её до тех пор, пока второй предприниматель тоже придерживается высокой цены. Если второй назначит низкую цену, то первый тоже понизит свою цену. На практике существует возможность, что если второй предприниматель осознает свою ошибку и вернётся к высокой цене, то первый поступит также.

Стратегия «Зуб за зуб» позволяет достигать эффективного по Парето исхода, если игра повторяется бесконечное число раз. В реальности ни один процесс в экономике не длится бесконечно долго, поэтому предположение о бесконечном числе разыгрывания не реалистично.

Предположим, что игра «Назначение цены» разыгрывается конечное число раз, например 5 лет (60 месяцев). Как изменится рациональные соображения участников при конечном числе разыгрывания? Каждый участник игры выбирает стратегию «Зуб за зуб», потому что, отклонившись от неё в n-м периоде, он будет наказан впериоде. Однако в данном случае 60-й период является последним. Воспроизведём логику рассуждений первого участника игры: «Если я буду сохранять высокую цену 59 периодов, а в 60-м назначу низкую цену, то я получу дополнительный выигрыш, а другие участники не успеют меня наказать за отклонение от общей стратегии». Далее первый участник может предполагать, что другие игроки рассуждают аналогично, следовательно, есть смысл первому нарушить негласный договор. Тогда первый участник склонен отклониться от общей стратегии уже в 59-м, а не в 60-м периоде, и т.д. Таким образом, стратегия«Зуб за зуб» теряет устойчивость на протяжении всего разыгрывания.

Существуют, однако, предпосылки для того, чтобы стратегия «Зуб за зуб» применялась на олигополистическом рынке. Предположим, что фирма 1 имеет хотя бы небольшие сомнения в том, что ее конкурент абсолютно рационален, т.е. в том, что он просчитал всю логическую цепочку. Тогда фирма 1 будет сомневаться, в том, что конкурент назначит низкую цену в последнем периоде, тогда фирме 1 нет смысла отказываться от высокой цены в предпоследнем периоде и т.д. Имеются практические примеры, как устойчивости, так и неустойчивости стратегии «Зуб за зуб».

Пример относительной устойчивости: «Рынок водомерных счётчиков»⁴

Производителями на рынке водомеров в США на протяжении более чем 30 лет были 4 фирмы, одна из которых имела долю на рынке примерно в 35%, остальные три вместе – от 50 до 55%. Особенность рынка водомеров в том, что спрос (его представляли коммунальные службы муниципалитетов) был неэластичен и стабилен. Так же стабильными были издержки производителей. Продукция однотипная, так что рынок водомеров можно рассматривать как пример однородной олигополии. При таких условиях четыре фирмы могли бы получать высокую монопольную прибыль. Общая ценовая стратегия фирм – назначение высокой цены – наблюдалась в течение шести лет. Прямой сговор не мог реализоваться в силу действия антимонопольного закона, но фирмы могли довольно долго следовать стратегии «Зуб за зуб».

Пример неудачи при выработке общей ценовой стратегии: «Рынок авиаперевозок»⁵.

В 1983 году президент компании «American Airlines» предложил другим авиакомпаниям использовать единую схему образования тарифов в зависимости только от расстояния между аэропортами. Цель состояла в ограничении ценовой конкуренции и достижении неявного сговора в ценообразовании. Большая часть авиакомпаний отнеслась доброжелательно к предложенному плану. Однако, в итоге план был сорван, т.к. компания «Pan Am», недовольная своей долей рынка начала снижать цены, вводя различные скидки, и вскоре ей последовали другие компании. Разыгралась «Дилемма заключенных, или, как выразился один из экономистов, сговор был нарушен зубилом конкуренции.

При ограниченном количестве розыгрышей стратегия «Зуб за зуб» теряет устойчивость. Всё же в отдельных случаях она может оказаться эффективной. Предпосылки стратегии «Зуб за зуб»:

1. Малое число компаний и удовлетворённость каждой из них совей долей рынка;

2. Стабильный спрос и издержки;

3. Участники игры сомневаются в том, их конкуренты способны всё рационально подсчитать. Например, первый участник, сомневаясь в том, что второй участник абсолютно рационален, думает: «Может быть, он не сообразит снижать цену в 60-м периоде, тогда мне выгоднее придерживаться стратегии «Зуб за зуб» на протяжении 59 периодов».