- •1. Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.
- •2. Критерий Коши. Свойство сходящихся последовательностей. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
- •3. Определение предела функции. Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный предел.
- •4. Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •5. Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции.
- •6. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
- •7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
- •8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
- •9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий о непрерывности сложной функции.
- •10. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •1 1. Точки разрыва и их классификация.
- •12. Производная, ее геометрический и механический смысл.
- •13.Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
- •14. Арифметические действия с производными.
- •15. Таблица производных.
- •16. Производные сложной и обратной функции.
- •17. Дифференциал, его связь с производной, геометрический смысл, инвариантность.
- •18. Теорема Ролля, её геометрический смысл.
- •19. Теорема Лагранджа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.
- •20. Правило Лопиталя. Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
- •22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.
- •23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
- •24. Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.
- •25. Асимптоты графика функции. Существование наклонной асимптоты. Виды асимптот:
- •Нахождение наклонной асимптоты
- •26. Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
- •Теорема 1(для функции двух переменных)
- •Теорема 2(обобщение)
- •27. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
26. Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
Теорема 1(для функции двух переменных)
Пусть функция f(x,y) определенна со своими частными производными fx,fy,fxy,fyx в некоторой окрестности точки (x0,y0), и при этом fxy и fyx непрерывны в этой точке. Тогда эти производные равны ( результат не зависит от порядка дифференцирования).
fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)
Теорема 2(обобщение)
Если у функции n переменных смешанные частные производные m-го порядка непрерывны в некоторой точке, а производные низших порядков непрерывны в окрестности этой точки, то частные производные порядка m не зависят от порядка дифференцирования.
<Вернуться назад>
27. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.
Обозначения: или – частная производная по «икс» или – частная производная по «игрек»
Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:
И по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка:
Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:
где при .
Определение
Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:
Замечание
Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.
Замечание
Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:
Замечание
Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:
Отсюда получаем, что
Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в этой точке, соответствующему приращению аргумента .
<Вернуться назад>
28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
Локальный экстремум функции двух переменных Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции
Если - точка экстремума функции f, то
и или
Достаточные условия локального экстремума дважды дифференцируемой функции
Обозначим
(Также принято обозначать: D-M1,2,3 ; A,B,C – Uxx, Uxy, …)
Если D > 0, A > 0, то - точка минимума.
Если D > 0, A < 0, то - точка максимума.
Если D < 0, экстремума в точке нет.
Если D = 0, необходимы дополнительные исследования.
Пример от 3х переменных:
Решение Найдем стационарные точки заданной функции, то есть точки, в которых выполняется необходимое условие существования экстремума. Для функции трех переменных стационарные точки (координаты точек) находятся из системы Для заданной функции , ,
и система примет вид Решениями системы являются и Получили две стационарные точки и . Для проверки достаточных условий экстремума в стационарной точке необходимо определить знаки определителей , и в этой точке. Найдем , , , , , . Для точки ,
, .
Так как , , , то в точке функция имеет максимум, при этом . Для точки ,
,
.
Так как , , , то в точке функция не имеет экстремума.
<Вернуться назад>
Справка
1. Q: Как перейти по ссылке на определенный вопрос?
A: Нажать на ссылку, потом - на появившуюся ссылку под ней:
Или “ctrl + ЛКМ”.
2. Q: Как добавить закладку?
A: Выделить фрагмент текста, на который будет сделана закладка, нажать в верхнем меню “Вставка” -> “Закладка”
3. Q: Как добавить ссылку на закладку?
A: Выделить текст будущей ссылки, нажать сочетание “ctrl + K”, кликнуть в появившеся меню “Закладки >” и выбрать нужную закладку.
4. Q: Как вставить разделитель после вопроса, чтобы следующий всегда был на новой странице?
A: Нажать ctrl + Enter
Спасибо!
Всем, кто писал ответы на вопросы:
Линар Саитов
Арсений Автомонов
Хитров Николай
<Вернуться назад>
By IKBO-08-16 & IKBO-13-17
2016-2018
©mirea