![](/user_photo/_userpic.png)
- •1. Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.
- •2. Критерий Коши. Свойство сходящихся последовательностей. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
- •3. Определение предела функции. Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный предел.
- •4. Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •5. Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции.
- •6. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
- •7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
- •8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
- •9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий о непрерывности сложной функции.
- •10. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •1 1. Точки разрыва и их классификация.
- •12. Производная, ее геометрический и механический смысл.
- •13.Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
- •14. Арифметические действия с производными.
- •15. Таблица производных.
- •16. Производные сложной и обратной функции.
- •17. Дифференциал, его связь с производной, геометрический смысл, инвариантность.
- •18. Теорема Ролля, её геометрический смысл.
- •19. Теорема Лагранджа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.
- •20. Правило Лопиталя. Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
- •22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.
- •23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
- •24. Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.
- •25. Асимптоты графика функции. Существование наклонной асимптоты. Виды асимптот:
- •Нахождение наклонной асимптоты
- •26. Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
- •Теорема 1(для функции двух переменных)
- •Теорема 2(обобщение)
- •27. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
20. Правило Лопиталя. Первое правило Лопиталя
Рассмотрим
функции
,
которые бесконечно
малЫ в
некоторой точке
.
Если существует предел их отношений
,
то в целях устранения неопределённости
можно
взять две производные –
от числителя и от знаменателя. При
этом:
,
то есть при
дифференцировании числителя и знаменателя
значение предела не меняется.
Примечание:
предел
тоже
должен существовать, в противном случае
правило не применимо.
Второе правило Лопиталя
Брат-2
борется с двумя спящими восьмёрками
.
Аналогично:
Если существует предел отношения бесконечно больших в точке функций: , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.
Примечание: предел должен существовать
Опять же, в различных практических примерах значение может быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость .
<Вернуться назад>
21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
Рассмотрим
многочлен
-й
степени
Его
можно представить в виде суммы степеней
,
взятых с некоторыми коэффициентами.
Продифференцируем его
раз
по переменной
,
а затем найдем значения многочлена и
его производных в точке
:
Таким образом, получаем, что
Полученное
выражение называется формулой
Маклорена для
многочлена
степени
.
Рассуждая
аналогично, можно разложить многочлен
по
степеням разности
,
где
-
любое число. В этом случае будем иметь:
Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .
Пример
Задание. Разложить
в ряд Тейлора функцию
в
точке
.
Решение. Найдем производные:
Итак,
,
,
.
Значение функции в точке
Таким образом,
Ответ.
Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки принимает вид:
Последнее
слагаемое
называется остаточным
членом в форме Пеано.
Замечание
Формула
Маклорена является частным случаем
формулы Тейлора при
.
<Вернуться назад>
22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Пусть функция f: [a, b] → R имеет в точке x0 производную n-го порядка. Тогда при x → x0
Если x0 = a или x0 = b, то под производными понимаются соответствующие односторонние производные.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид
<Вернуться назад>
23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
Определение
Точка
называется точкой
локального максимума функции
,
если существует такая окрестность этой
точки, что для всех
из
этой окрестности выполняется
неравенство:
.
Точка
называется точкой
локального минимума функции
,
если существует такая окрестность этой
точки, что для всех
из
этой окрестности
.
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
Замечание
Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Теорема
(Необходимое условие экстремума)
Если
функция
имеет
экстремум в точке
,
то ее производная
либо
равна нулю, либо не существует.
Точки,
в которых производная равна нулю:
,
называются стационарными
точками функции.
Точки,
в которых выполняется необходимое
условие экстремума для непрерывной
функции, называются критическими
точками этой
функции. То есть критические
точки -
это либо стационарные точки (решения
уравнения
),
либо это точки, в которых производная
не
существует.
Замечание
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Теорема
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
функция непрерывна в окрестности точки ;
или не существует;
производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда
в точке
функция
имеет
экстремум, причем это минимум, если при
переходе через точку
производная
меняет свой знак с минуса на плюс;
максимум, если при переходе через
точку
производная
меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
найти производную ;
найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
найти значение функции в экстремальных точках.
Пример
Задание. Исследовать
функцию
на
экстремум.
Решение. Находим производную заданной функции:
Далее
ищем критические точки функции, для
этого решаем уравнение
:
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):
Так
как при переходе через точку
производная
сменила свой знак с "-" на "+",
то в этой точке функция достигает
минимума (или минимального значения),
причем
.
Замечание. Также
можно определить интервалы монотонности
функции:
так как на интервале
производная
,
то на этом интервале функция
является
убывающей; на интервале
производная
,
значит заданная функция возрастает на
нем.
Ответ.
Теорема
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
она непрерывна в окрестности точки ;
первая производная в точке ;
в точке .
Тогда
в точке
достигается
экстремум, причем, если
,
то в точке
функция
имеет
минимум; если
,
то в точке
функция
достигает
максимум.
<Вернуться назад>