- •1. Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.
- •2. Критерий Коши. Свойство сходящихся последовательностей. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
- •3. Определение предела функции. Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный предел.
- •4. Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •5. Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции.
- •6. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
- •7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
- •8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
- •9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий о непрерывности сложной функции.
- •10. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •1 1. Точки разрыва и их классификация.
- •12. Производная, ее геометрический и механический смысл.
- •13.Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
- •14. Арифметические действия с производными.
- •15. Таблица производных.
- •16. Производные сложной и обратной функции.
- •17. Дифференциал, его связь с производной, геометрический смысл, инвариантность.
- •18. Теорема Ролля, её геометрический смысл.
- •19. Теорема Лагранджа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.
- •20. Правило Лопиталя. Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
- •22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.
- •23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
- •24. Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.
- •25. Асимптоты графика функции. Существование наклонной асимптоты. Виды асимптот:
- •Нахождение наклонной асимптоты
- •26. Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
- •Теорема 1(для функции двух переменных)
- •Теорема 2(обобщение)
- •27. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
10. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке:
Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a, b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Ф ункция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в интервале (a, b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. ).
Свойства функций непрерывных на отрезке:
Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения (теорема Вейерштрасса).
Непрерывная на отрезке функция является ограниченной на этом отрезке.
Если функция является непрерывной на отрезке и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между и
(теорема Больцано-Коши).
Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка такая, что .
<Вернуться назад>
1 1. Точки разрыва и их классификация.
<Вернуться назад>
12. Производная, ее геометрический и механический смысл.
Производная:
Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю:
или
Функция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции.
Геометрический смысл производной:
Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :
Замечание: Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .
Механический смысл производной:
Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :
<Вернуться назад>
13.Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство:
Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу.
Найдем
Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.
Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.
Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.
П ример:
у=|х|, х0=0.
Dх>0, ;
Dх<0, .
В точке х0=0 функция непрерывна, но производной не существует.
<Вернуться назад>
14. Арифметические действия с производными.
<Вернуться назад>