- •1. Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.
- •2. Критерий Коши. Свойство сходящихся последовательностей. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
- •3. Определение предела функции. Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный предел.
- •4. Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •5. Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции.
- •6. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
- •7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
- •8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
- •9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий о непрерывности сложной функции.
- •10. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •1 1. Точки разрыва и их классификация.
- •12. Производная, ее геометрический и механический смысл.
- •13.Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
- •14. Арифметические действия с производными.
- •15. Таблица производных.
- •16. Производные сложной и обратной функции.
- •17. Дифференциал, его связь с производной, геометрический смысл, инвариантность.
- •18. Теорема Ролля, её геометрический смысл.
- •19. Теорема Лагранджа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.
- •20. Правило Лопиталя. Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
- •22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.
- •23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
- •24. Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.
- •25. Асимптоты графика функции. Существование наклонной асимптоты. Виды асимптот:
- •Нахождение наклонной асимптоты
- •26. Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
- •Теорема 1(для функции двух переменных)
- •Теорема 2(обобщение)
- •27. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
5. Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции.
Теорема:
Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Доказательство:
Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c = const, то .
<Вернуться назад>
6. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
Второй замечательный предел:
Второй замечательный предел служит для раскрытия неопределенности 1∞ и выглядит следующим образом:
Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу).
<Вернуться назад>
7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
Таблица эквивалентных бесконечно малых:
П усть - бесконечно малая при .
Эквивалентность всех величин таблицы можно доказать, основываясь на равенстве .
<Вернуться назад>
8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
Теорема: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
(См. 7. Сравнение бесконечно малых)
Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.
Действительно, так как
т. е.
Отсюда т. е. α~ß. Аналогично, если то α ~ ß.
Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения:
Числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.
Доказательство: Пусть в точке х = х0 имеем f(x) ~ α(x). Тогда
<Вернуться назад>
9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий о непрерывности сложной функции.
Непрерывность функции в точке:
Ф ункция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть:
Следствие:
Значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.
Теорема о непрерывности сложной функций:
Пусть функция φ(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке x0=φ(t0).
Тогда функция f(φ(t)) непрерывна в точке t0.
<Вернуться назад>