ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ_Бакалова
.pdfx (k) + a0 + y (k)
|
|
|
|
|
|
|
a0 = 1 |
|
|
|
T |
a1 |
|
|
a1 = _1 |
||
b1 |
|
|
|
|
a2 |
= 1 |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
= 0,5 |
|
|
T |
|
|
|
b2 |
= _0,5 |
|
b |
2 |
|
|
a2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 19.45
ãäå W(z) z-преобрàçîâàние промежуточной послеäîâàтельности
W ( z ) = |
X ( z ) |
. |
(19.47) |
|
|
||||
M |
||||
|
|
|
||
|
1 − å blz−l |
|
|
l=1
Òîãäà ñîãëàñíî (19.46) àëãоритм äискретной обрàботки сиãíàëà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âíà÷àëå ðåàлизуется рекурсиâное преобрà- çîâàíèå (19.47), à çàтем нерекурсиâíîå (ðèñ. 19.44).
Пример. Íàéäåì ðåàêöèþ äискретной цепи нà âîçäåéñòâèå x{ k } = {1; 1; 1; 1}, åñëè ïåðåäàòî÷íàя функция цепи имеет âèä
H ( z ) = |
|
1 - z−1 |
+ z−2 |
. |
|
- 0,5z−1 |
+ 0,5z−2 |
||
1 |
|
Ñîñòàâим структурную кàноническую схему äискретной цепи с зàäàííîé ïåðåäàточной функцией (рис. 19.45). Коэффициенты усиления изâестны:
a0 = 1; a1 = 1; a2 = 1; b1 = 0,5; b2 = 0,5.
Íàéäåì âûõîäíîé ñèãíàë y(k) цепи, используя урàâнение (19.38) или непосреäñòâенно по схеме:
y ( k ) = a0x ( k ) + a1x ( k - 1) + a2x ( k - 2) + b1y ( k - 1) + b2y ( k - 2) = = x ( k ) - x ( k - 1) + x ( k - 2) + 0,5y ( k - 1) - 0,5y ( k - 2).
Ðàссчитàем отсчеты y(k):
y ( 0 ) = x ( 0 ) = 1;
y (1) = x (1) - x ( 0 ) + 0,5y ( 0 ) = -1 - 1 + 0,5 × 1 = -1,5 ; y ( 2) = x ( 2) - x (1) + x ( 0 ) + 0,5y (1) - 0,5y ( 0 ) =
= 1 + 1 + 1 + 0,5 ( -1,5 ) = 2,25.
Àíàëîãичным обрàçîì ðàссчитыâàåì y(3) = 1,125, y(4) = 1,3125 è ò.ä.
Устойчивость рекурсивных цепей. Дискретнàÿ öåïü ñ÷èòàется неустойчиâîé, åñëè îãðàниченное по àмплитуäå âõîäíîå âîçäåéñò- âèå âûçûâàåò íà åå âûõîäе бесконечно нàðàñòàющий отклик. Нà-
551
оборот, äискретнàя цепь устойчиâà, êîãäà отклик нà îãðàниченное âîçäåéñòâèå òàêæå îãðàничен.
Èçâестно, что у устойчиâîé àíàëîãîâой цепи полюсы переäàточ- ной функции рàñïîëàãàþòñÿ â ëåâой полуплоскости переменной p. При перехоäå îò àíàëîãîâîé öåïè ê äискретной и зàмене преобрà- çîâàíèÿ Ëàïëàñà z-преобрàçîâàнием точки леâой полуплоскости p- плоскости перехоäÿò â точки, лежàùèå âнутри еäиничной окружности z-плоскости (рис. 19.19). Тàêèì îáðàзом, полюсы переäàточ- ной функции устойчиâîé äискретной цепи рàñïîëàãàþòñÿ âнутри еäиничной окружности z-плоскости.
Нерекурсиâíûå öåïè âñåãäà устойчиâû.
à)
á)
â)
ã)
Пример. Îïðåäелим устойчиâость цепей, имеющих переäàточные функции:
H ( z ) = |
|
|
|
1 − z−1 |
|
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
− 0,3z−1 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
H2 |
( z ) = |
|
|
1 − z−1 |
, |
|
|
||
1 |
− 2z−1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
H3 |
( z ) = |
|
|
|
1 − z−2 |
, |
|||
1 |
− 1,8z−1 |
+ 0,97z−2 |
|||||||
|
|
|
|||||||
H4 |
( z ) = |
|
|
|
1 − z−2 |
. |
|||
1 |
− 2,4z−1 |
+ 1,69z−2 |
|||||||
|
|
|
Полюс переäàточной функции
H1 |
( z ) = |
|
1 − z −1 |
|
− 0,3z −1 |
||
|
1 |
íàéäåì, ïðèðàâíÿâ çíàìåíàòåëü H1(z) ê íóëþ, 1 0,3z 1 = 0.
Получàем полюс z 1(1) = 0,3, который нàõîäèòñÿ âнутри еäиничной окружности z-плоскости. Это ознà÷àет, что цепь устойчиâà.
Ïåðåäàòî÷íàя функция
|
H2 ( z ) = |
|
1 − z−1 |
|
|
|
||
|
1 − 2z−1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
имеет полюс â точке z 1( 2) = 2; òàêàя цепь неустойчиâà. |
||||||||
Полюсы переäàточной функции |
|
|
|
|
|
|
||
|
H3 ( z ) = |
|
|
|
1 − z−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
||
|
1 − 1,8z−1 + 0,97z |
|||||||
ÿâляются |
комплексно-сопряженными |
z 1( 3 ) = 0,9 + j0,4 è z (23 ) = 0,9 − j0,4 . Ïî- |
||||||
скольку |
эти полюсы лежàò âнутри |
|
åäиничной |
окружности (их моäóëè |
z1( 3 ) = z2( 3 ) < 1), òî äàííàÿ äискретнàя цепь устойчиâà.
Примером неустойчиâой цепи служит цепь с переäàточной функцией
H4 |
( z ) = |
|
1 − z−2 |
, |
|
|
|
|||||
|
− 2,4z−1 + |
1,69z−2 |
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
у которой z 1( 4 ) = 1,2 + j0,5 è z (24 ) = 1,2 − j0,5 è |
|
z 1( 4 ) |
|
= |
|
z (24 ) |
|
> 1. |
||||
|
|
|
|
552
Частотные характеристики. Для перехоäà îò ïåðåäàточной функции H(z) ê ÷àстотной хàðàктеристике H(jf) необхоäимо произâåñòè çàìåíó
|
|
|
|
z = e jωt = e j2πf T . |
|
|
|
||||||
Обычно ââîäÿò â |
ðàссмотрение |
нормироâàííóþ ÷àстоту Ω = |
|||||||||||
= fT = f/fä. С учетом этоãо формулà (19.41) примет âèä: |
|
|
|||||||||||
H ( jΩ ) = H (e j2πΩ ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
a |
0 |
+ a e− j2πΩ |
+ a |
e− j4πΩ +K+ a |
N |
e− j2πNΩ |
= |
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1− b e− j2πΩ − b e− j4πΩ −K− b |
|
|
|
|
|
||||||||
|
M |
e− j2πMΩ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
(a0 + a1 cos2πΩ + a2 cos 4πΩ +K+ aN cos2πNΩ ) − |
× |
(19.48) |
||||||||||
(1− b1 cos2πΩ − b2 cos 4πΩ −K− bM cos2πMΩ ) + |
|
×− j((a1 sin 2πΩ + a2 sin 4πΩ +K+ aN sin 2πNΩ )).
+j b1 sin 2πΩ + b2 sin 4πΩ +K+ bM sin 2πMΩ
Èç (19.48) ëåãко получить àмплитуäíî-÷àстотную и фàçî-÷àñòîò- íóþ õàðàктеристики äискретной цепи. В чàстности, àмплитуäíî- ÷àстотнàÿ õàðàктеристикà áóäåò ïðåäñòàâëåíà âûðàжением
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H ( Ω ) = |
|
H ( jΩ ) |
|
= |
( a0 + a1 cos 2πΩ + a2 cos 4πΩ + K)2 + × |
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(1 − b1 cos 2πΩ − b2 cos 4πΩ − K)2 + |
(19.49) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
+ ( a1 sin 2πΩ + a2 sin 4πΩ + K)2 |
. |
|
|||||
|
|
|||||||
+ (b1 sin 2πΩ + b2 sin 4πΩ + K)2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
Пример. Дискретнàÿ öåïü 3-ãî ïîðÿäêà описыâàåòñÿ ïåðåäàточной функцией
|
|
z-плоскость |
x(n) |
|
|
|
+ |
||
|
|
|
|
|
|
z |
(6) |
|
|
|
z1(6) |
2 |
1 |
|
|
|
|
||
|
z (6) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Полюсы |
z (6) |
= 0,544 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z (6) |
= 0,731 e+ j0,544 |
|
|
|
2 |
= 0,731 e_ j0,544 |
|
|
|
z (6) |
|
||
|
3 |
|
|
|
|
a) |
|
|
á) |
Ðèñ. 19.46
y(n)
T
T
T
553
H(Ω) = |H( jΩ)|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,1 |
|
|
|
0,5 |
|
|
1,0 |
|
Ω |
|||||||||
|
|
|
|
|
Ðèñ. 19.47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
H6 ( z ) = |
|
|
|
|
|
0,1317 |
|
|
|
|
|
|
(19.50) |
||||||
|
1 - 1,785z−1 + 1,202z−2 |
- 0,2853z−3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( 6 ) |
= 0,544 è |
( 6 ) |
= 0,731e |
± j 0,544 |
. Ðàсположение полюсоâ â ïëîñ- |
|||||||||||||||
с полюсàìè z 1 |
z 2,3 |
|
|
кости z ïîêàçàíî íà ðèñ. 19.46, à. Çäåñü æå ïðèâåäåíà структурнàÿ ñõåìà äискретной цепи (рис. 19.46, á). Îïðåäелить АЧХ цепи.
Ïîäñòàâèì â (19.50) |
|
|
|
|||
H ( W ) = |
|
0,1317 |
|
|
´ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
(1 - 1,785 cos 2pW + 1,202cos 4pW - 0,2853 cos 6pW )2 |
+ |
|||||
|
|
|
|
´ + (1,785sin 2pW - 1,202sin 4pW + 0,2853sin 6pW )2 .
Íà рис. 19.47 изобрàæåí ãðàôèê À×Õ H(W) цепи. Из рисункà âèäíî, ÷òî À×Õ ñ ïåðåäàточной функцией (19.50) соотâåòñòâóåò ÔÍ× Áàòòåðâîðòà. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, àмплитуäíî-÷àстотнàÿ õàðàктеристикà äискретной цепи яâ- ляется периоäической функцией (тàê êàê H(jW) есть преобрàçîâàние Фурье от äискретной импульсной реàкции). Ее периоä ðàâåí fä = 1/ T èëè W = fä × T = 1. Поэтому онà используется â äèàïàçîíå ÷àñòîò îò 0 äî 0,5fä (èëè äо W = 0,5). Цепь устойчиâà.
Пример. Íàéäåì ÷àстотную хàðàктеристику äискретной цепи с импульсной |
||||||||||||
õàðàктеристикой h{ k } = {1,5; 1; 0,5}. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Çàпишем переäàточную функцию H(z) цифроâîãо фильтрà, |
âоспользо- |
|||||||||||
âàâшись формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H ( z ) = å h |
( k ) z−k . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Получим H ( z ) = 1,5 + z−1 + 0,5z−2 |
ïåðåäàточную функцию нерекурсиâíîé öåïè. |
|||||||||||
H(Ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
Ω |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 19.48 |
|
|
|
|
|
554
H(Ω)
4
3
2
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0,1 |
0,5 |
1,0 |
|
Ω |
Ðèñ. 19.49
Íàéäåì À×Õ ýòîé öåïè, ïîäñòàâëÿÿ â формулу (19.48) знàчения коэффициентоâ усиления a0 = 1,5; a1 = 1; a2 = 0,5,
H ( Ω ) = ( a0 + a1 cos 2πΩ + a2 cos 4πΩ )2 + ( a1 sin 2πΩ + a2 sin 4πΩ )2 = = (1,5 + cos 2πΩ + 0,5 cos 4πΩ )2 + (sin 2πΩ + 0,5 sin 4πΩ )2.
Ãðàфик АЧХ изобрàæåí íà ðèñ. 19.48.
Пример. Изменим коэффициенты усиления â ïðåäûäущем примере. Выбе-
ðåì a0 = a2 = 1, a1 = 2. Âíîâü íàéäåì âûðàжение H(Ω) и построим ãðàôèê åãî àмплитуäíî-÷àстотной хàðàктеристики.
Çàменим â формуле äëÿ H(Ω), полученной â ïðåäûäущем примере, знàче- ния коэффициентоâ a0, a1 è a2. Получим
H ( Ω ) = (1 − 2cos 2πΩ + cos 4πΩ )2 + ( −2sin 2πΩ + sin 4πΩ )2 .
Ãðàфик АЧХ изобрàæåí íà ðèñ. 19.49. Èç ãðàôèêà âèäно, что нерекурсиâ- íàÿ öåïü ñ òàêèìè çíàчениями коэффициентоâ усиления это режекторный фильтр.
19.5. Типовые звенья дискретных цепей
Звенья 1-го и 2-го порядков. В литерàòóðå òèïîâûìè çâеньями äискретных цепей считàþòñÿ çâåíüÿ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Они получàются из общей структуры рис. 19.44, если остàâèòü â ней только оäèí ëèáî äâà элементà çàäержки.
Íà ðèñ. 19.50, à ïîêàçàíî çâåíî 1-ãî ïîðÿäêà ñ ïåðåäàточной функцией
|
|
H ( z ) = |
a |
|
+a z−1 |
|
|
||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 − b z−1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
è À×Õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
H ( Ω ) = |
( a |
|
+ a cos 2πΩ )2 |
+ ( a sin 2πΩ ) |
2 |
|
|||
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(1 − b cos 2πΩ )2 |
+ (b sin 2πΩ )2 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
Òèïîâîå çâåíî 2-ãî ïîðÿäêà изобрàæåíî íà ðèñ. 19.50, á. Åãî ïåðåäàòî÷íàя функция
555
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (k) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
+ |
y (k) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x (k) |
+ |
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
+ |
y (k |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 19.50
H ( z ) = a0 +a1z−1 +a2z−2 1 − b1z−1 − b2z−2
è À×Õ
H ( Ω ) = |
( a |
|
+a cos 2πΩ+a |
|
cos 4πΩ )2 |
+ ( a sin 2πΩ + a sin 4πΩ )2 |
. |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
||
|
|
|
|
|||||
|
(1 − b cos 2πΩ − b |
cos 4πΩ )2 |
+ (b sin 2πΩ + b sin 4πΩ )2 |
|
||||
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
Пример. Построим ãðàôèê À×Õ çâåíà ïåðâîãî ïîðÿäêà, у котороãî a0 = 1,
a1 = 0.
Ïåðåäàòî÷íàя функция тàêîãî çâåíà ïåðâîãî ïîðÿäêà
|
|
H ( z ) = |
a |
|
+a z−1 |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
− b z−1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 − b z−1 |
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Амплитуäíî-÷àстотнàÿ õàðàктеристикà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
H ( Ω ) = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(1 − b cos 2πΩ )2 |
+ |
(b sin 2πΩ )2 |
1 |
+ b12 |
− 2b1 cos 2πΩ |
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку полюс zn ïåðåäàточной функции H(z) ðàâåí b1, òî äëÿ òîãо, чтобы цепь былà устойчиâой необхоäèìî âûáèðàòü çíàчения b1 òàкими, чтобы âыполнялось услоâèå | b1 | < 1.
Íà ðèñ. 19.51 ïðèâåäåíû ãðàфики АЧХ, построенные äëÿ çíàчений b1 = 0,5 è b1 = 0,5.
H(Ω) |
|
b1 = _0,5 |
|
|
H(Ω) |
|
H2( |
Ω) |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
H(Ω) |
|
b1 |
= 0,5 |
|
|
|
H1(Ω) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0,1 |
0,5 |
1,0 |
Ω |
0 |
0,1 |
0,5 |
1,0 |
Ω |
Ðèñ. 19.51 |
Ðèñ. 19.52 |
556
À×Õ ðàññìàòðèâàåìîãо фильтрà çàâèñèò îò çíàêà коэффициентà b1. Ïðè b1 > 0 получàем режекторный фильтр, при b1 < 0 полосоâîé.
Пример. Íàéäåì ïåðåäàточную функцию и построим ãðàôèê À×Õ çâåíà 2-
ãî ïîðÿäêà (ðèñ. 19.50, á) ïðè a0 = a2 = 1, a1 = 2, b1 = 0,2 è b2 = 0,4. Ïåðåäàòî÷íàя функция тàêîãî çâåíà
H ( z ) = |
a |
|
+ a z−1 |
+ a |
|
z−2 |
= |
|
1+ z−1 - 2z−2 |
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
1 - 0,2z−1 |
+ 0,4z−2 |
|||||||
|
1 - b z−1 |
- b z−2 |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Êàê óêàçûâàëîñü ðàнее, рекурсиâную цепь с прямыми и обрàтными сâязями можно преäñòàâèòü êàê êàñêàäíîå ñîåäинение рекурсиâíîãо фильтрà ñ ïåðåäàточной функцией H1(z) и нерекурсиâíîãо фильтрà ñ ïåðåäàточной функцией H2(z).  íàøåì ñëó÷àå, äëÿ çâåíà âòîðîãî ïîðÿäêà,
H |
( z ) = |
|
|
1 |
|
, |
H |
2 |
( z ) = 1 - z−1 |
- 2z−2, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
- 0,2z−1 |
+ 0,4z−2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
H ( z ) = H1 ( z ) × H2 ( z ).
Ãðàôèê À×Õ äëÿ H2(z) уже был построен и приâåäåí íà ðèñ. 19.49. À×Õ H1(W) рекурсиâíîãо фильтрà ðàссчитыâàется по формуле
H |
( W ) = |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|||
1 |
|
(1 |
- 0,2cos 2pW + 0,4 cos 4pW )2 + ( -0,2sin 2pW + 0,4sin 4pW )2 |
|
|
|
|
|
|
Ãðàôèêè H1(W), H2(W) è H(W) = H1(W) × H2(W) изобрàæåíû íà ðèñ. 19.52.
Соединение типовых звеньев. Òèïîâûå çâåíüÿ ìîãóò ñîåäиняться кàñêàäíî (ðèñ. 19.53, à); ïðè ýòîì èõ ïåðåäàточные функции перемножàþòñÿ:
H ( z ) = H1 ( z ) × H2 ( z ) × H3 ( z ) ,
ãäå H1, H2, H3 ïåðåäàточные функции зâåíüåâ.
Ðèñ. 19.53
557
Ïðè ïàðàллельном соеäинении зâåíüåâ (ðèñ. 19.53, á) îáùàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция опреäеляется кàê
H ( z ) = H1 ( z ) + H2 ( z ) + H3 ( z ) .
Ñîåäинение, покàçàííîå íà ðèñ. 19.53, â, íàçûâàþò âключением цепи H2 â îáðàòíóþ ñâÿçü öåïè H1, причем
H ( z ) = |
H ( z ) |
|
. |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
1 - H |
( z ) × H |
( z ) |
|
|
1 |
2 |
|
|
Ñëåäует иметь â âèäó, ÷òî âñå ñîåäинения, изобрàженные нà ðèñ. 19.53, ñïðàâåäëèâы не только äëÿ òèïîâûõ çâåíüåâ, íî è äля любых äðóãих структур.
Пример. Íàéäåì ïåðåäàточные функции при рàзличных способàõ ñîåäèíå- |
||||||||||||||||||
ния рекурсиâной и нерекурсиâной цепей, имеющих |
H1 ( z ) = 1 |
(1 - 0,3z−1 ) |
è |
|||||||||||||||
H2 ( z ) = 0,2 + z−1 + z−2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ïðè êàñêàäíîì ñîåäинении этих цепей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
H ( z ) = H ( z ) × |
H |
|
( z ) |
= |
0,2 + z−1 + z−2 |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - 0,3z |
−1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ïðè ïàðàллельном соеäинении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H ( z ) = H |
( z ) + H |
2 |
( z ) |
= |
1,2 + 0,4z−1 + 0,7z−2 - 0,3z−3 |
; |
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - 0,3z−1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ïðè âключении цепи H2 â îáðàòíóþ ñâÿçü öåïè H1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
H ( z ) = |
H ( z ) |
|
|
|
|
= |
|
|
1,25 |
|
|
. |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - H ( z ) H |
2 |
( z ) |
|
1 - 1,625z |
−1 |
- |
1,25z |
−2 |
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Íàéäåì ïåðåäàточную функцию äискретной цепи, изобрàженной нà ðèñ. 19.54.
Öåïü, ïðèâåäåííàÿ íà ðèñ. 19.54, ïðåäñòàâляет собой кàñêàäíîå ñîåäинение типоâûõ çâåíüåâ 1-ãî è 2-ãî ïîðÿäêîâ. Ïåðåäàòî÷íàя функция соеäинения имеет âèä
|
|
|
|
|
|
|
a0 +a1 z |
−1 |
¢ |
¢ |
|
−1 |
¢ |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
H ( z ) = |
|
× |
a0 |
+ a1 z |
|
+ a |
2 z |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 - b1 × z |
−1 |
|
|
|
|
¢ |
−1 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - b1 z |
|
|
- b 2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x(n) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
y (n |
) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T
Ðèñ. 19.54
558
Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàжение äëÿ H(z) çàäàííûå çíàчения коэффициентоâ óñè-
ления a0 = 1, a1 = 0,5, b1 = 1 è a′0 = 0,5, a1′ = 1,5, a′2 = 1,2, b′1 = 0,2, b′2 = 0,4, получàåì
H ( z ) = |
0,5 + 1,75 z−1 |
− 0,45 z−2 − 6 z−3 |
. |
|||
1 |
+ 1,2 z−1 − |
0,2 z−2 |
− 0,4 z−3 |
|||
|
|
19.6.Метод переменных состояния дискретных цепей
Âï. 6.7 áûë ðàссмотрен метоä переменных состояния применительно к àíàëîãîâым цепям. При этом метоä переменных состояния позâоляет âместо системы äифференциàльных урàâнений m-ãî ïîðÿäêà (6.3) линейную цепь описàть системой из m äифференциàльных урàâнений 1-ãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûõ óðàâнениями состояния цепи
Àíàëîãичным обрàçîì äëÿ îïèñàíèÿ äискретных цепей â прострàíñòâе состояния âместо рàзностноãî óðàâнения (19.39) N-ãî ïîðÿäêà ðàссмотрим систему из N линейных рàзностных урàâнений 1-ãî ïîðÿäêà.
Âêà÷åñòâе примерà ðàссмотрим рекурсиâíóþ öåïü 2-ãî ïîðÿäêà, описыâàåìóþ óðàâнением
yn = a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + b1yn−1 + b2yn−2 .
Êàноническàÿ ñõåìà этой цепи изобрàæåíà íà ðèñ. 19.55. Ââåäем переменные состояний äискретной цепи кàê ñèãíàëû q1(n)
èq2(n) íà âûõîäе элементоâ çàäержки (рис. 19.55). Из рис. 19.55 слеäóåò, ÷òî
|
|
q |
2 |
( n + 1) = q |
( n ) , |
|
|
(19.51) |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
q |
|
( n + 1) = q |
0 |
( n ) , |
|
|
(19.52) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Если учтем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
0 |
( n ) = x |
( n ) + b q ( n ) + b q |
2 |
( n ) , |
(19.53) |
||||
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
Ðèñ. 19.55
559
то после поäñòàíîâêè (19.53) â óðàâнение (19.52) получим систему 2-х äискретных рàзностных урàâнений, описыâàþùèõ äискретную цепь â прострàíñòâе состояния
ìq2 ( n + 1) = 0 × q2 ( n ) + 1× q1 ( n ) + 0 × x ( n ) ,
íîq1 ( n + 1) = b2 × q2 ( n ) + b1 × q1 ( n ) + 1× x ( n ).
Или обознà÷èâ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q ( n ) = |
|
q2 |
( n ) |
|
; A = |
|
0 |
1 |
|
; B = |
|
0 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
q |
( n ) |
|
|
b |
b |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19.54)
(*)
получим урàâнение состояния äискретной цепи â ìàтричной форме:
q ( n + 1) = A × q ( n ) + B × x ( n ). |
(19.55) |
Óðàâнение реàêöèè öåïè y(n) можно получить по àíàëîãèè ñ (6.95) êàк линейную комбинàöèþ âекторà состояния и âекторà âîç- äåéñòâèÿ:
y ( n ) = C × q ( n ) + D × x ( n ) , |
(19.56) |
ãäå C, D ìàтрицы пàðàметроâ äискретной цепи. Нàпример, äля цепи, изобрàженной нà ðèñ. 19.55 ìàтрицы C è D можно нàéòè èç óðàâнения
y ( n ) = a0q0 ( n ) + a1q1 ( n ) + a2q2 ( n ). Или с учетом (19.53)
y ( n ) = a0 [ x ( n ) + b1q1 ( n ) + b2q2 ( n ) ] + a1q1 ( n ) + a2q2 ( n ) = = (a0b1 + a1 )q1 ( n ) + (a0b2 + a2 )q2 ( n ) + a0x ( n ).
Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
C = ( a0b1 + a1 ) ( a0b2 + a2 ) ; D = a0 . (**)
Методы решения уравнений состояния дискретных систем.
Решение âî âременной облàñòè. Решение урàâнений состояния может осущестâляться кàê âî âременной облàñòè, òàê è â z-îáëàс- ти. При решении урàâнений состояния âî âременной облàсти используется рекуррентнàя процеäóðà решения рàзностноãî óðàâнения (19.55) при зàäàííîì íà÷àльном состоянии q ( 0 ) è èçâестной послеäîâàтельности âõîäíîãî ñèãíàëà x(k):
q (1) = A × q (0) + B× x (0), |
|
q ( 2) = A × q (1) + B× x (1) = A2 × q (0) + A ×B× x (0) + B× x (1), |
|
LLLL |
(19.57) |
n−1
q (n) = An × q (0) + å An−1−kB× x (k),
k=0
560