ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ_Бакалова
.pdfL1=1 |
|
L3=2 |
L5=1 |
C1=5 C3=3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2=1 |
|
|
C4=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2=3 |
L4=1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 16.9 |
|
|
|
|
Ðèñ. 16.10 |
||
Z ( p ) = p + |
|
1 |
|
|
|
|
. |
p + |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
2p + |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
p |
Ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâляет собой сопротиâление инäóêòèâности с L1 = = l, âторое проâîäимость емкости с Ñ2 = 1, третье сопротиâление инäóêòèâности с L3 = 2, ÷åòâертое сопротиâление емкости с Ñ4 = 2 и пятое сопротиâление инäóêòèâности с L5 = 1. Ïîäñòàíîâêà äàнных элементоâ â схему рис. 16.6 äàет окончàтельный результàт синтезà äâухполюсникà (ðèñ. 16.9).
Пример. По функции нормироâàííîãо сопротиâления
Z ( p ) = |
45p4 + 27p2 + 1 |
|
60p3 + 5p |
синтезироâàть схему äâухполюсникà â âèäе лестничной структуры. Буäем осущестâëÿòü äеление относительно p 1, ò. å. íà êàæäîì øàãе исключàòü ñëà- ãàемое минимàльной степени. Процесс äеления покàæåì â êîìïàктном âèäå:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
45p4 |
+ 27p2 + 1 |
|
|
60p3 + 5p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12p2 + 1 |
|
1 |
= Z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
60p3 |
+ 5p |
|
|
45p4 + 15p2 |
|
|
|
5p |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15p3 + 5p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
−45p4 + 15p2 |
|
|
1 |
= Y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
45p |
|
|
|
|
|
3p |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
15p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− |
45p |
|
|
|
45p4 |
|
|
|
3p |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
45p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
= Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ äàнному рàзложению схемà ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.10.
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ìåòîäó Êàóýðà можно синтезироâàòü äâà âèäà лестничных схем:
1)ñ èíäóêòèâностями â ïðîäольных и с емкостями â попереч- ных âåòâÿõ (ïåðâàÿ ñõåìà Êàóýðà);
2)с емкостями â ïðîäольных и с инäóêòèâностями â попереч- ных âåòâÿõ (âòîðàÿ ñõåìà Êàóýðà).
Ïðåäñòàâëÿþò îïðåäеленный интерес äâухполюсники, состоящие из элементоâ R è Ñ, à òàкже из элементоâ R è L. Ïîäõîä к синтезу тàêèõ äâухполюсникоâ îñòàåòñÿ òàêîé æå, êàê è â ñëó÷àå
431
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðåàêòèâíûõ |
äâухполюсникоâ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Rá |
|
|
Cá |
|
R1 |
R3 |
|
|
|
|
|
R2n+1 Конечно, имеются сâои особен- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
|
|
|
C2n+1 |
ности, но âèä êàнонических схем |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îñòàется прежним. Тàê RL-äâóõ- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ðèñ. 16.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полюсники получàþòñÿ èç ðåàê- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
òèâíûõ êàнонических схем пу- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
òåì çàмены емкостей нà резисторы, à RÑ-äâухполюсники путем |
çàìåíû èíäóêòèâностей нà резисторы. Оäíà èç âозможных кàнонических схем RÑ-äâухполюсникоâ ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.11.
16.7. Задача реализации в синтезе электрических цепей. Синтез четырехполюсников
Полученнàÿ â результàòå àппроксимàции функция цепи F(x) ïîäлежит â äàльнейшем реàëèçàöèè â âèäе конкретной схемы. Сущестâует большое число метоäîâ ðåàëèçàции цепи по функции кâàäðàòà À×Õ | H( jω)| 2, Ô×Õ ϕ(ω) èëè õàðàктеристике ГВП tãð(ω), по перехоäíîé g(t) и импульсной h(t) õàðàктеристикàì. Äàæå êðàткое упоминàíèå îáî âñåõ ìåòîäàõ ïðèâело бы к чрезмерному уâеличению объемà êíèãè.  § 17.4 ïðèâåäены примеры реà- ëèçàции электрических фильтроâ по функции кâàäðàòà À×Õ â âè- äå ïàññèâных лестничных LC-ñõåì è àêòèâíûõ RÑ-ñõåì.
Сущестâуют общие метоäы синтезà îïåðàторных переäàточных функций. Остàíîâèìñÿ ëèøü íà ìåòîäàх, имеющих â íàстоящее âðåìÿ ïðàктическое знàчение:
1)синтез скрещенных (мостоâых) схем с постоянным âõîäным сопротиâлением;
2)синтез симметричных Т-перекрытых схем с постоянным хà- ðàктеристическим сопротиâлением;
3)синтез реàêòèâных лестничных четырехполюсникоâ, íàãруженных резистиâным сопротиâлением;
4)синтез ARÑ-цепей.
Нахождение операторной передаточной функции по квадрату модуля комплексной передаточной функции. Ïðåäположим, что â результàте решения зàäà÷è àппроксимàöèè íàéäåí êâàäðàò ìîäуля комплексной переäàточной функции (кâàäðàò À×Õ). Äàлее необхо- äèìî çíàòü îïåðàторную переäàточную функцию. Опреäеление кâàäðàòà ìîäуля комплексной переäàточной функции по соотâåòñò- âующей оперàторной функции осущестâляется при помощи зàмены переменной ð íà jω, è ðåøàåòñÿ îäíîçíà÷íî, ò. å. îïåðàторной переäàточной функции соотâåòñòâует только оäèí êâàäðàò ìîäуля комплексной переäàточной функции.
Îáðàòíàÿ çàäà÷à ðåøàется несколько сложнее и неоäíîçíà÷íî. Âíà÷àле сформулируем теорему о кâàäðàòå ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции.
432
Теорема. Êâàäðàò ìîäуля комплексной переäàточной функции не изменится, если изменить знàê ó âсех или у некоторой чàсти нулей и полюсоâ ñîîòâåòñòâующей оперàторной переäàточной функции, à òàкже если у комплексных нулей и полюсоâ çíàк изменяется оäíîâременно у кàæäой комплексно сопряженной пàðû.
Äîêàæåì óòâåðæäåíèå, ÷òî åñëè â формуле äëÿ êâàäðàòà ìîäóëÿ âыполнить обрàòíóþ ïîäñòàíîâêó ω = jp, то полученнàя функция облàäàåò ñëåäующими сâîéñòâàìè:
1)функция | H(ð)| 2 ñîäержит â 2 ðàçà больше нулей и полюсоâ, чем функция Í(ð);
2)если функция Í(р) имеет нуль, рàâíûé ð0i, òî | H(ð)| 2, кроме ð0i, имеет нуль ð0i. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè íàличии нуля Í(ð) â ëåâой полуплоскости, â | H(ð)| 2 ïîÿâляется äополнительный нуль â ïðàâой полуплоскости и нàоборот. Скàçàнное полностью относится
êполюсàм. Дейстâительно, кâàäðàò ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции преäñòàâèì â âèäå
H ( jω) 2 = H ( jω ) e jϕ( ω) H ( jω ) e− jϕ( ω) = H ( jω) H ( − jω ). (16.20)
Выполним зàìåíó jω = p èëè ω = jp. Из формулы (16.7) âèä- íî, ÷òî
H ( p ) 2 = H ( p ) H ( −p ).
Пусть функция Í(ð) имеет ï нулей и m полюсоâ, òîãäà ее можно преäñòàâèòü â âèäå (7.42):
H ( p ) = H ( p − p01 )( p − p02 )K( p − p0n ) . ( p − p1 ) ( p − p2 )K( p − pm )
ò. å. Í( ð) ñîäержит âсе нули и полюсы, что и Í(ð), но с проти- âоположными знàêàми. Это и требоâàëîñü äîêàçàòü.
Ïðîâåäенный àíàëèç ïîçâоляет сформулироâàòü ïîðÿäîê îïðå- äеления оперàторной переäàточной функции по кâàäðàòó åå ìî- äóëÿ:
1. Â âûðàжении äëÿ | H( jω)| 2 âыполняем зàìåíó ω = jð.
2. Íàõîäèì âсе нули и полюсы функции | H( p)| 2, ïîëîâèíà из которых принàäлежит функции Í(ð). Полюсы, лежàùèå â ëåâой полуплоскости относим к Í(ð). Îíè ñîñòàâëÿþò êàê ðàç ïîëîâèíó âсех полюсоâ. Îñòàльные полюсы относятся к Í( ð). Òàêîå ðàñ- ïðåäеление полюсоâ âûçâàно необхоäимостью получения устойчи- âых цепей (см. ãë. 14). Òàêèì îáðàçîì, âыбор полюсоâ ïåðåäàточ- ной функции осущестâляется оäíîçíà÷íî.
3. Ðàñïðåäеление нулей функции | H( p)| 2 ìåæäó Í(ð) è Í( ð) не может быть âыполнено оäíîçíà÷íî. Ñîãëàсно теореме о кâàäðà- òå ìîäóëÿ ïåðåäàточной функции зäесь имеется опреäеленнàÿ ñâî- áîäà â âыборе числителя переäàточной функции. Если нà Ô×Õ
433
íèêàêèõ îãðàничений не нàêëàäûâàется, то обычно и нули âûáè- ðàþò â ëåâой полуплоскости.
4. Постоянный множитель функции Í(ð) ðàâåí êâàäðàтному корню из постоянноãо множителя функции |H( p)| 2 .
Пример. Îïðåäелить оперàторную переäàточную функцию, если кâàäðàò åå ìîäуля имеет âèä
H ( jw) |
|
2 = |
25 |
× w4 |
+ 25w2 + 144 . |
|
|||||
|
|
|
4 |
w4 |
+ 61w2 + 900 |
|
|
|
1. Çàïèñûâàåì | H( p) | 2 путем зàìåíû w = jp â âûðàжении äëÿ | H( jw) | 2
H ( p ) |
|
2 = |
25 |
× |
p4 |
- 25p2 + 144 . |
|
||||||
|
|
|
4 |
|
p4 |
- 61p2 + 900 |
|
|
|
|
2. Íàõîäим нули и полюсы | H( p) | 2:
p01 |
= 3, |
p02 = -3, |
p03 = 4, |
p04 = -4 - íóëè, |
p5 |
= 5, |
p6 = -5, |
p7 = 6, p8 |
= -6 - полюсы. |
Функция H( p): áóäет иметь полюсы ð6 è ð8, òàê êàê îíè íàõîäÿòñÿ â ëå- âой полуплоскости.
3. ×òî êàñàется нулей, то âозможны слеäующие сочетàíèÿ:
p01 è p03, p01 è p04, p02 è p03, p02 è p04.
4. Постоянный множитель H = 5/2.
Çàпишем переäàточную функцию äëÿ âòîðîãî âозможноãо сочетàния нулей
H ( p ) = |
5 |
× |
( p - p01 )( p - p04 ) |
= |
5 |
× |
( p - 3 )( p + 4 ) |
2 |
( p - p6 )( p - p8 ) |
2 |
( p + 5 )( p + 6 ) . |
Ðàссмотрим перечисленные âûøå ìåòîäы синтезà ïåðåäàточных функций.
Синтез скрещенных (мостовых) схем с постоянным входным сопротивлением. Ýòîò ìåòîä ÿâляется общим, т. е. любую оперà- торную функцию, уäîâëåòâоряющую УФР, можно с точностью äо постоянноãо множителя реàëèçîâàть мостоâой схемой с постоянным âõîäным сопротиâлением. Метоä имеет âàжное теоретическое знàчение, тàê êàê äîêàçûâàåò äîñòàточность УФР. В прàктическом плàíå ýòîò ìåòîä применяется при синтезе фàçîâых корректороâ è
линий зàäержки. Мостоâàÿ ñõåìà четырехполюсникà, íàãруженнàÿ |
||||||||
с обеих сторон нà сопротиâление R0 ïîêàçàíà íà ðèñ. 16.12. Åñëè |
||||||||
äâухполюсники Z |
è Z ÿâляются обрàтными, т. е. Z Z |
= R 2, òî |
||||||
a |
b |
|
|
|
|
|
a b |
0 |
ïåðåäàòî÷íàя функция имеет âèä |
|
|
|
|
|
|||
H ( p ) = U2 |
= |
I2 |
= |
R0 |
− Za ( p ) |
. |
(16.21 a) |
|
I |
|
|
||||||
|
U |
|
|
R + Z ( p ) |
|
|||
|
1 |
1 |
0 |
a |
|
Пусть зàäàíà ïåðåäàòî÷íàя функция H( p), óäîâëåòâоряющàÿ ÓÔÐ. Òîãäà äëÿ åå ðåàëèçàции мостоâой схемой необхоäимо синтезироâàòü äâухполюсники с âõîäными функциями:
434
|
|
|
|
|
R 0 |
|
|
|
I 1 |
|
|
|
Z a |
|
I 2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
U 0 |
U 1 |
Z b |
|
|
|
Z b R 0 |
|
U 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 16.12 |
|
|
|
|
||||||||
Z |
( p ) = R |
|
1 − H ( p ) |
è Z |
|
( p ) = R |
1 + H ( p ) |
. (16.21 á, â) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
0 1 + H ( p ) |
|
b |
|
|
0 1 − H ( p ) |
|
Синтез тàêèõ äâухполюсникоâ âозможен, если äîêàçàть, что функции (16.21 б, â) ÿâляются ПВФ (нà ñàìîì äåëå äîñòàточно äîêàçàòü, ÷òî ÏÂÔ ÿâляется Za, òîãäà функция сопротиâления об- рàòíîãî äâухполюсникà òàêæå ÿâляется ПВФ). Чтобы это äîêà- çàòü, âспомним, что ПВФ это äробно-рàöèîíàëüíàя функция, âещестâåííàÿ ÷àсть которой неотрицàтельнàÿ â ïðàâой полуплоскости. То что Za ÿâляется äробно-рàöèîíàльной, âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî Í(ð) äробно-рàöèîíàëüíàя функция. Для опреäеления усло- âий, при которых Re[Za (p)] 0, ïðåäñòàâèì îïåðàторную переäà- точную функцию â âèäе суммы âещестâенной и мнимой чàñòåé:
|
H ( α + jω) = x ( α,ω) + jy ( α,ω ). |
||||
Òîãäà |
|
|
|
|
|
Z |
( α + jω) = R |
1 − x − jy |
= |
1 + x2 − y2 − j2y |
. |
|
|
||||
a |
0 1 + x + jy |
|
(1 + x )2 + y2 |
Вещестâåííàÿ ÷àñòü Za áóäет неотрицàтельной, если x2 + y2 = = | H( p)| 2 1. Äàííîå íåðàâåíñòâî è ÿâляется услоâèåì òîãî, ÷òî Za(p) ÏÂÔ, à çíà÷èò è óñëîâием физической реàлизуемости опе- рàторных переäàточных функций â âèäе мостоâой схемы с постоянным âõîäным сопротиâлением. Тàê êàê Í(ð) óäîâëåòâоряет УФР, то онà àíàлитическàя (отсутстâуют полюсы) â ïðàâой полуплоскости комплексной переменной р, à çíà÷èò è îãðàниченà ïî ìîäóëþ | H( p)| Ì. Âûáðàâ постоянный множитель Í = 1/M, получим функцию, реàлизуемую с точностью äо постоянноãо множителя â âèäе мостоâой схемы. Тàêèì îáðàçîì, ðåàëèçàöèÿ ïåðåäà- точной функции сâîäится к синтезу äâухполюсникоâ Za è Zb. Отметим, что нà ïðàктике зàäàííóþ ïåðåäàточную функцию реàлизуют не â âèäå îäной сложной мостоâой схемы, à â âèäå êàñêàä- íîãî ñîåäинения более простых мостоâûõ ñõåì. Äëÿ ýòîãî çàäàн- ную функцию преäñòàâëÿþò â âèäе произâåäения более простых функций:
H ( p ) = H1 ( p ) H2 ( p )KHn ( p ).
435
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 íÔ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ê |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
1 ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ê |
|
|
|
|
1 ê |
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
5 ìÃí |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Uã |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uã |
|
|
|
|
|
|
1 ê |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 ê |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
á) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 16.13
Êàæäàя функция реàлизуется â âèäе мостоâой схемы. Если сопротиâление âûáðàíî äëÿ âñåõ ñõåì îäèíàêîâым, то получàåòñÿ êàñêàäíîå ñîåäинение соãëàñîâàнных четырехполюсникоâ, è ïåðå- äàííàя функция кàñêàäíîãî ñîåäинения кàê ðàç è ÿâляется произ- âåäением переäàточных функций четырехполюсникоâ, ñîñòàâляющих это кàñêàäíîå ñîåäинение.
Синтез симметричных Т-перекрытых схем с постоянным характеристическим сопротивлением. Для симметричноãî Т-перекры- òîãо четырехполюсникà, ïîêàçàííîãî íà ðèñ. 16.13, à, õàðàктеристические сопротиâления
Zc1 = Zc2 = A12 A21 = Z1Z2
ïðè âçàèìíî-îáðàòíûõ äâухполюсникàõ Z1 Z2 = R2 ðàâíû R, т. е. четырехполюсник âключен соãëàñîâàííî. Ñëåäîâàтельно, еãо собстâåííàя постояннàÿ ïåðåäàчи непосреäñòâåííî ñâÿçàíà ñ ðàбочей
ïåðåäàточной функцией e−Ãñ |
= Hp èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Ãñ = ln ( A11 + A12 A21 ) = ln (1 + Z1 |
R) |
= ln |
|
. |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
Hp ( |
jω ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Îòñþäà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hp ( jω) = 1 (1 + Z1 R) |
|
èëè Hp ( p ) |
= 1 (1 + Z1 ( p ) R). |
|||||||||||
Из послеäíåãî ðàâåíñòâà è óñëîâèÿ Z1(ð)Z2(ð) = R2 íàõîäèì |
||||||||||||||
Z1 ( p ) = R |
1 − Hp ( p ) |
; Z2 ( p ) = R |
|
|
Hp ( p ) |
|
. |
|
||||||
|
Hp ( p ) |
1 |
− Hp ( p ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Äâухполюсники Z1(p) è Z2(p) â ïëå÷àх схемы рис. 16.13, à ìî- ãóò áûòü ðåàëèçîâàíû èçâестными способàìè.
Пример. В результàòå àппроксимàции полученà функция | Hð( jw) | 2 = = (w2 + 1010) / (w2 + 9 ×1010). Осущестâèì åå ðåàëèçàöèþ â âèäе симметричноãî
Т-перекрытоãо четырехполюсникà (ñì. ðèñ. 16.13, à) ïðè íàãрузке нà сопротиâление R = 1 êÎì.
Çàменим оперàòîð jw íà ð:
436
|
Hp ( p ) |
2 |
10 |
10 |
- p |
2 |
|
|
(10 |
5 |
- p )(10 |
5 |
+ p ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
= |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
9 ×1010 - p2 |
(3 |
×10 |
5 |
- p )(3 ×105 + |
p ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Î÷åâèäíî, ÷òî Hð( p) |
= |
(p + 105) / (p + 3 ×10 |
5). Сопротиâление Z (p) â схеме |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
íà ðèñ. 16.13, à îïðåäеляется по формуле:
Z1 ( p ) = R 1 - Hp ( p ) = p + 105 .
Ðàзложение Z1(p) â цепную äðîáü: |
|
|
|
||
Z1 |
( p ) = |
1 |
= |
|
1 |
pC + 1 R1 |
|
×10−9 p + 1 2 ×103 |
|||
|
|
5 |
ïðèâîäит к схеме пàðàллельноãî RÑ-контурà с элементàìè Ñ = 5 íÔ è R1 = = 2 êÎì.
Äâухполюсник Z2(p) ÿâляется обрàтным, т. е. послеäîâàтельным RL-кон- туром с элементàìè L = 5 ìÃí è R2 = 0,5 êÎì.
Ñõåìà ðåàëèçîâàííîãо четырехполюсникà ïðèâåäåíà íà ðèñ. 16.13, á.
Синтез реактивных лестничных четырехполюсников, нагруженных резистивными сопротивлениями (ðèñ. 16.14) îñíîâàí íà òîì î÷åâèäíîì ôàêòå, ÷òî àêòèâíàя мощность, отäàâàåìàÿ ãåíåðàòî-
ðîì |
I2 Re[Z |
âõ |
(jw)], |
ðàâíà |
мощности, |
потребляемой нàãрузкой |
||
U2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R , ò. å. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 Re é Z |
âõ |
( jw)ù |
= U2 |
R . |
|
|
|
|
1 |
ë |
û |
2 |
2 |
Òîê I1 âûðàзим через зàäàþùåå íàпряжение ãåíåðàòîðà U0
I1 = U0 Zâõ + R1
è ïîäñòàâèì â ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâо. После àëãåáðàических преобрàçîâàний, получим:
2 |
|
4R Re é Z |
âõ |
( jw)ù |
|
|||||||
4U2 R1 |
= |
1 |
ë |
|
û |
. |
(16.22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U02R2 |
|
R + Z |
âõ |
( jw) |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâнения преäñòàâляет собой кâàäðàò ìî- äóëÿ ðàбочей переäàточной функции (12.44), à числитель прàâîé ÷àсти можно преäñòàâèòü ñëåäующим обрàçîì:
|
|
R1 |
|
I1 |
|
|
|
|
||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
LC- |
|
|
|
+ |
|
|
U0 |
|
|
четырех- |
U2 |
R2 |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
полюсник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zâõ(p)
Ðèñ. 16.14
437
4R Re[ Z |
âõ |
] = |
|
R + Z |
âõ |
|
2 − |
|
R − Z |
âõ |
|
2 . |
(16.23) |
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Óáåäиться â ñïðàâåäëèâîñòè óðàâнения (16.23) можно путем элементàрных преобрàçîâàíèé åãî ïðàâîé ÷àсти. С учетом скàçàííîãî óðàâнения (16,23) преобрàзуется к âèäó:
2
R1 − Zâõ = 1 − H ( jω) 2 . (16.24)
R1 + Zâõ
Из послеäней формулы можно нàéòè îïåðàторное âõîäное сопротиâление Zâx(p). Ðåàлизуя Zâx(p) â âèäе лестничной структуры, получàåì öåïü ñ çàäàííîé ïåðåäàточной функцией Í(ð). При этом, конечно, нужно слеäить, чтобы реàëèçîâûâàëèñü íóëè ïåðåäàточ- ной функции.
Обознà÷àÿ
σ ( jω ) = |
R1 |
− Zâõ ( jω) |
, |
(16.25) |
||
R |
+ Z |
âõ |
( jω) |
|||
|
1 |
|
|
|
|
ãäå σ коэффициент отрàжения мощности нà âõîäе четырехполюсникà, получим из (16.24) сâÿçü ìåæäó êâàäðàòîì ÷àстотной хà- ðàктеристики коэффициентà îòðàжения и кâàäðàтом АЧХ четырехполюсникà:
σ ( jω ) |
|
2 = 1 − |
|
H ( jω ) |
|
2 . |
(16.26) |
|
|
|
Ïðàктические àспекты применения äàííîãî ìåòîäà áóäóò ðàс- смотрены при синтезе фильтроâ.
Синтез ARÑ-цепей. Àêòèâíûå RÑ-öåïè âозникли кàê àльтернà- òèâà RLC-цепям. Дело â òîì, ÷òî êàтушки инäóêòèâности, à çíà÷èò è â целом RLC-цепи плохо поääàются микроминиàтюризàöèè è îá- ëàäàþò çíàчительной мàññîé è ãàáàðèòàìè. Àêòèâíûå RÑ-öåïè â принципе äопускàют микроминиàтюризàöèþ, ÷òî ÿâляется их яâ- íûì äостоинстâом. Сущестâенным же неäîñòàòêîì ARÑ-цепей яâ- ляется их относительно низкàÿ ñòàбильность, относительно âы- сокий уроâень собстâенных шумоâ и нелинейных искàжений. Поэтому ARÑ-цепи применяются â îñíîâíîì â îáëàсти низких чàстот приблизительно äî 100 êÃö. Íà более âысоких чàñòîòàх применяются ARÑ-öåïè íåâысоких поряäêîâ. Íèæå êðàòêî îïèñàíû ìåòîäы синтезà ARÑ-цепей, которые нàшли применение нà ïðàктике.
Èìèòàöèÿ â RLC-цепях инäóêòèâностей их электронными экâèâàëåíòàìè. Сущестâóþò àêòèâíûå ìíîãополюсники, нàçûâàе- мые обобщенными преобрàçîâàтелями сопротиâлений, которые, бу- äó÷è íàãруженными нà емкости или резисторы, реàлизуют нà ñâî- èõ âõîäíûõ çàæèìàх некоторую цепь, состоящую из инäóêòèâностей. В простейшем случàå èíäóêòèâность можно реàëèçîâàòü íà- ãруженным нà емкость ãèðàтором (ñì. § 3.11). Äàííûé ìåòîä ñèí-
438
òåçà ARÑ-öåïè ñâîäится к синтезу пàññèâíîé RLC-цепи с после- äующей зàменой âñåõ èíäóêòèâностей их электронными экâèâàëåí- òàìè.
Синтез ARC-цепей ïî ìîäåëÿì. Ýòîò ìåòîä çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ARÑ-ñõåìà, состоящàÿ èç îäíîãо или нескольких àêòèâных элементоâ и некотороãî RÑ-ìíîãополюсникà. Ìåòî- äàìè àíàëèçà электрических цепей нàõîäèòñÿ îïåðàòîðíàÿ ïåðåäà- òî÷íàя функция, âûðàæåííàя через пàðàметры RÑ-ìíîãополюс- никà è àêòèâíîãо элементà. Ñðàâíèâàÿ çàäàííóþ ïåðåäàточную функцию с полученной, опреäеляют пàðàметры синтезируемой схемы (ìåòîä âûðàâíèâàния коэффициентоâ). ×àùå âñåãî â êà÷åñòâå àêòèâíîãо элементà âûáèðàют ОУ с бесконечным коэффициентом усиления и зàäàются структурой мноãополюсникà.
Àíàлиз цепей с ОУ рàссмотрен рàíåå (ï. 14.1) è îñíîâûâàåòñÿ íà çàìåíå ÎÓ çàâисимым источником. Соãëàсно этому метоäу сформулируем àëãоритм нàõîæäåíèÿ îïåðàторных переäàточных функций цепей с ОУ. Он состоит из слеäующих шàãîâ:
1.Êî âõîäó öåïè ïîäключить кàкой-либо источник.
2.Çàменить âñå ÎÓ èõ ñõåìàìè çàмещения (зàâисимыми источ- никàми) с конечным коэффициентом усиления Íó.
3.Любым метоäîì àíàëèçà цепей опреäелить изобрàжение по
Ëàïëàñó âõîäíûõ (U1(p) èëè I1(p)) è âûõîäíûõ (U2(p) èëè I2(p)) íàпряжений и токоâ.
4. Взять отношение нàéäенных изобрàжений и â этом отношении сäåëàòü ïðåäельный перехоä ïðè Íó → ∞.
Пример. Çàäàäèìñÿ ìîäåëüþ, ïîêàçàííîé íà рис. 16.15. При коэффициенте усиления ОУ, стремящемся к бесконечности, оперàòîðíàÿ ïåðåäàòî÷íàя функция примет âèä (ñì. § 3.11 è ãë. 14):
H ( p ) = |
U |
( p ) |
= |
|
|
|
−YY |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
. |
||
U |
( p ) |
Y |
(Y + Y + Y + Y ) + Y Y |
||||||||
|
1 |
|
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
2 |
4 |
|
Пусть Y1 = G1, Y2 = G2, Y4 = G4, Y5 = pC5, Y3 = pC3, òîãäà
H ( p ) = |
|
|
|
−G2G1 |
|
|
|
|
. |
(16.27) |
||
p2C C + pC |
(G |
2 |
+ G |
4 |
+ G ) + G G |
4 |
||||||
3 |
5 |
3 |
|
|
1 |
2 |
|
|
Òàêèì îáðàçîì, äàнной схемой можно реàëèçîâàòü ïåðåäàточную функцию
âèäà
H ( p ) = H (p2 + α p + β ). |
(16.28) |
Èç ñðàâнения âûðàжений (16.27) и (16.28) слеäóåò, ÷òî
H = G2G1C3C5, α = (G2 + G4 + G1 )C5 , β = G2G4 C4C5 .
Полученнàя системà èç òðåõ óðàâнений соäержит шесть неизâестных. Онà имеет множестâо решений. Нàложим äополнительные оãðàничения нà íåèç- âестные. Пусть G1 = G2 = G3 = G4 = G, òîãäà системà óðàâнений преобрàзуется к âèäó
439
|
|
|
|
Y 4 |
|
|
|
Y 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
|
Y 1 |
|
|
Y 2 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||||
U1 |
|
Y 5 |
|
|
+ |
|
|
U 2 |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 16.15
H = G2C3C5, α = 3GC5 , β = GC4C5 .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî C5 = 3G/α, C3 = α/3β, Í = β. Çàäàâшись конкретным
çíàчением G, íàéäåì C3 è C5.
Åñëè ïðîâîäимостям исхоäной схемы приписàòü äðóãèå çíàчения, то можно реàëèçîâàть множестâî ðàзличных функций.
Êàñêàäíàÿ ðåàëèçàöèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïðåäñòàâлении зàäàííîé ïåðåäàточной функции â âèäе произâåäения множителей обычно âòîðîãî, à èíîãäà ïåðâîãî ïîðÿäêîâ. Òàкие функции â силу их простоты несложно реàëèçîâàòü â âèäå àêòèâной схемы, которую нà- çûâàþò çâåíîì. Çàтем полученные четырехполюсники âêëþ÷àþò êàñêàäно, причем тàк, чтобы âçàимное âлияние зâåíüåâ было пренебрежимо мàëî. Ýòî äîñòèãàåòñÿ äâумя способàìè: ëèáî âклю- чением межäó çâеньями специàльных буферных (рàçâÿçûâàþùèõ) àêòèâных четырехполюсникоâ (íàпример, поâторителей нàпряжений), или тàêèì âыбором зâåíüåâ, при котором отношение âûõîä- íîãî è âõîäíîãо сопротиâлений зâåíüåâ â месте соеäинения стремилось либо к нулю, либо к бесконечности. Друãèìè ñëîâàìè, äàн- ные сопротиâления äолжны резко отличàòüñÿ äðóã îò äðóãà. Íà- пример, если âûõîäное сопротиâление преäûäóùåãî çâåíà стремится к нулю, то âõîäное сопротиâление послеäóþùåãî çâåíà äолжно стремиться к бесконечности и нàоборот.
Вопросы и задания для самопроверки
1.Èç êàêèõ ýòàïîâ состоит синтез электрических цепей?
2.Сформулируйте услоâия физической реàлизуемости переäàточ- ных функций, АЧХ и ФЧХ, âременных′ функций и âõîäных функций электрических цепей.
3.В чем состоит отличие метоäîâ àппроксимàöèè ïî ðàзличным критериям близости: интерполяции, по Тейлору, по Чебышеâó è ñðåäíåêâàäðàтической àппроксимàöèè?
4.Аппроксимироâàòü ìåòîäом интерполяции зàâисимость ξ(x) = = e 0,5x íà интерâàëå 0,5 x 2 полиномом âторой степени
440