3. Преобразование при неоднозначной обратной функции

На практике встречаются ситуации, когда обратная функциональная характеристика является многозначной (рисунке 1.4). Рассуждая аналогично тому, как это делали при выводе выражения (1.2), легко убедиться в том, что в этом случае для интервала

(1.8)

Рисунок 1.4 – К расчету распределения реакции БФУ с неоднозначной обратной функциональной характеристикой

Если при анализе прохождения СП через БФУ достаточно знать только основные характеристики распределения реакции, то их можно найти, не определяя w_Y(y). В частности, математическое ожидание равно:

(1.9)

дисперсия:

(1.10)

функция корреляции:

(1.11)

Функциональное преобразование двух случайных процессов

Постановка задачи:

Заданы два случайных процесса X₁(t) и X₂(t) с известной совместной плотностью вероятности их значений в совпадающие моменты времени w(x₁, x₂; t). С этими процессами связаны два других СП Y₁(t) и Y₂(t) известными функциональными зависимостями:

(1.12)

Требуется определить w(у₁, у₂; t) совместную плотность вероятности процессов Y₁(t) и Y₂(t) в совпадающие моменты времени.

Решение:

По аналогии с (1.2) можно написать следующее соотношение:

				(1.13)
где	J	–	якобиан преобразования переменных x1, x2 в у1, у2

Выводы:

В результате рассмотрения первого вопроса удалось:

1. Изучить прохождение случайных процессов через безынерционные цепи.

2. Рассмотреть примеры линейного безынерционного и кусочно-линейного преобразования, а также преобразования при неоднозначной обратной функции

2. Прохождение случайных процессов через линейные цепи

Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен корреляционный анализ, т. е. расчет корреляционной функции реакции по заданной корреляционной функции воздействия, который удобно проводить спектральным методом по схеме, показанной на рисунок 1.5.

Рисунок 1.5 – Схема вычисления корреляционной функции реакции ФУ

Для вычисления энергетического спектра G_Y(f) реакции линейного ФУ с передаточной функцией H(jω) воспользуемся его определением:

	(1.14)

Функцию корреляции B_Y() определим преобразованием Фурье энергетического спектра G_Y(f):

(1.15)

Вернемся к определению закона распределения реакции линейного ФУ в отдельных частных случаях:

1. Линейное преобразование нормального СП порождает также нормальный процесс. Измениться могут только параметры его распределения.

2. Сумма нормальных СП (реакция сумматора) есть также нормальный процесс.

3. При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтра F существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия f_X) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y(t). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство F << f_X (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6 – Спектр широкополосного СП и АЧХ узкополосных ФНЧ и ПФ

Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с f_X до F) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c _X до _Y). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y(k_Y) располагается примерно f_X / F некоррелированных отсчетов воздействия X(l_X), каждый из которых даёт вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра:

(1.16)

Вывод:

В результате рассмотрения второго вопроса удалось:

1. Изучить прохождение случайных процессов через линейные цепи.