Понятие базиса
Система линейно независимых и ненулевых векторов образует в пространствеL базис, если для всех х, принадлежащих L, существует Благодаря введению базиса операции над векторами превращаются в операции над числами (координатами).
Представление сигналов векторами и введение в рассмотрение пространств сигналов значительно упрощает анализ и синтез систем связи, позволяет эффективно решать проблемы повышения помехоустойчивости и пропускной способности.
Выводы
1. Введение понятия пространства, нормы, метрики, базиса позволяет формализовать процессы, связанные с передачей и приемом сигналов.
2. Пространства со скалярным произведением
Введём еще одну дополнительную характеристику в пространстве сигналов в отображения упорядоченной пары векторов на поле скаляров из F.
Эту операцию называют скалярным (внутренним) произведением векторов и записывают в виде:
1. Если , то вектора х и у ортогональны.
2. Если –символ Кронекера:прии
при , система векторов – ортонормированная.
Система ортонормированных векторов линейно независимая.
В линейном пространстве со скалярным произведением норму и метрику целесообразно определять через скалярное произведение.
В ТЭС наибольший интерес представляют следующие линейные нормированные пространства:
1. –n-мерное вещественное евклидово пространство, в котором каждый вектор определяется совокупностью n его координат.
Скалярное произведение векторов в этом пространстве:
(2.1) |
Оно порождает норму и расстояние:
(2.2) | |
|
|
(2.3) |
Пример: определения нормы и метрики Евклида в декартовой системе координат: заданы два вектора (сигнала) положение которых полностью определено их координатами(рисунок 2.1).
|
Рисунок 2.1 – Определения нормы и метрики Евклида в декартовой системе координат |
|
|
|
|
|
Расстояние между векторами определяетразличимость сигналов. Чем больше расстояние (метрика), тем лучше различимы сигналы. Метрика Евклида применяется при декодировании свёрточных кодов с помощью алгоритма Витерби с мягким решением. Выигрыш от применения мягкого решения в отношении сигнал/шум по сравнению с жёстким решением составляет 2,5 дБ (при квантовании продетектированного сигнала на 8 уровней).
2. – бесконечномерное пространство Гильберта, которое образуют непрерывные комплексные или вещественные функции, заданные на интервале(0,Т):
(2.4) |
–квадрат нормы – это энергия сигнала, если под иметь ввиду напряжение (ток) на сопротивлении 1 Ом. Энергию разностного сигнала можно представить следующим выражением:
(2.5) |
В пространстве Гильберта определяется квадрат расстояния между любой парой сигналов (векторов). Величина полностью характеризует различие между сигналами.
3. 2n – n-мерное пространство Хэмминга, которое образуют двоичные n-последовательности, широко используемые в системах связи.
Норма, метрика в этом пространстве:
(2.6) | ||||
| ||||
где |
– |
суммирование по модулю «2». |
Норма вектора в пространстве Хэмминга определяется общим количеством содержащихся в нём единиц, а расстояние между векторами – количеством позиций (разрядов) кодовых комбинаций, в которых они различаются.
Примеры:
1. Задана кодовая комбинация (вектор в пространстве Хэмминга): 1011010. Определить норму.
–норма данного вектора. Норма вектора в пространстве Хэмминга совпадает с количеством единиц в кодовой комбинации, т.е. с весом кодовой комбинации.
2. Заданы две кодовые комбинации: 1001011 и 0110010. Определить расстояние (метрику) в пространстве Хэмминга между кодовыми комбинациями.
Метрика (расстояние) между кодовыми комбинациями равна 5. Метрика Хэмминга находит широкое применение при декодировании свёрточных кодов по алгоритму Витерби с жёстким решением. Чем больше метрика Хэмминга, тем сильнее различима кодовые комбинации.
Выводы
1. Векторное представление применимо как для детерминированных функций, так и для случайных. В последнем случае скалярное произведение, норма и расстояние – случайные величины.