2.4. Анализ (расчет) сложных электрических цепей методом эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора относится к классу методов, основанных на принципе упрощения электрической схемы цепи – когда с помощью тех или иных методов преобразования сложная схема электрической цепи упрощается до простой электрической схемы, в которой можно найти искомый ток по закону Ома. Сущность метода эквивалентного гене-

ратора состоит в следующем: любая, сколь угодно сложная схема линейной электрической цепи может быть представлена относительно двух своих узлов в виде простой цепи – последовательного соединения источника ЭДС с внутренним сопротивлением (активного двухполюсника) и сопротивления нагрузки; ток в такой цепи легко найти по закону Ома.

На рис. 2.8 представлена эквивалентная электрическая схема так называемого эквивалентного генератора. Она содержит эквивалентный генератор, состоящий из ЭДС эквивалентного генератора Eэг с внутренним

сопротивлением Ri (левая часть схемы рис. 2.8, выделенная штриховой линией), и нагрузку этого генератора Rн .

Если к такой эквивалентной схеме привести анализируемую цепь рис. 2.7, то найти ток Ií в этой цепи можно будет по закону Ома:

эквивалентный

Эквивалентный гененератор

Рис. 2.8. Электрическая схема эквивалентного генератора.

Для рассмотрения метода эквивалентного генератора используем первоначальную анализируемую схему рис. 2.1 в виде, показанном ранее на рис. 2.5, где источники тока J1 и J6 первоначальной схемы рис. 2.1

преобразованы в эквивалентные им источники ЭДС E1ЭКВ и E6ЭКВ на схеме

30

рис. 2.5. Исключив в схеме рис. 2.5 обозначения направлений обхода контуров цепи, получим схему, показанную на рис. 2.9.

E1ЭКВ

UE1ЭКВ

E6ЭКВ

UE6ЭКВ UR6

Рис. 2.9. Эквивалентная схема анализируемой электрической цепи

В качестве искомого тока примем ток I1 . После этого схему рис. 2.9

перерисуем и представим в виде, показанном на рис. 2.10.

На этом рисунке дополнительно введена точка e , а анализируемая схема представлена так, чтобы было удобно рассматривать её относительно точек b e . Тогда эквивалентный генератор (левая относительно этих точек часть схемы) и его нагрузка (правая относительно этих точек часть схемы) будут соответствовать расположению этих элементов, принятых на рис. 2.8.

Для того чтобы воспользоваться выражением (2.54) закона Ома для цепи, содержащей эквивалентный генератор и его нагрузку, необходимо привести левую относительно точек b e часть схемы сложной анализируемой цепи рис. 2.10 к виду, показанному на рис. 2.8 для эквивалентного генератора. Роль нагрузки Rн схемы рис. 2.8 будет выполнять сопротивле-

ние R1 схемы рис. 2.10.

31

e

'e

URi 0

Ueb'

'b

Рис. 2.11. Схема анализируемой цепи в режиме холостого хода (а); эквивалентная схема анализируемой цепи в виде схемы эквивалентного генератора (б)

Установление режима холостого хода относительно точек b e приводит к тому, что ток во внешней цепи генератора, эквивалентного анализируемой цепи (рис. 2.11, б), равен нулю, падения напряжения U Ri на

внутреннем сопротивлении генератора Ri и все напряжения эквивалентного генератора Eэг оказываются приложенными к точкам b и e этой цепи.

Таким образом, ЭДС эквивалентного генератора равно напряжению холостого хода анализируемой схемы относительно разомкнутых клемм схе-

мы. То есть условие обеспечения холостого хода в первой ветви рис. 2.10, ток I1 которой следует определить, выглядит так:

33

Тогда можно найти значение ЭДС эквивалентного генератора Eýã ,

показанного на рис. 2.11, б, которое оказывается равным напряжению холостого хода UХХ (рис. 2.11, а):

а падение напряжения U Ri на внутреннем сопротивлении эквивалентного генератора рис. 2.11, б при этом равно нулю:

Выражение (2.58) показывает, каким образом можно определить напряжение холостого хода UХХ и эквивалентного генератора Eýã. Они

равны разности потенциалов 'e 'b между точками e и b схемы анали-

зируемой цепи при холостом ходе в ветви определяемого тока. При этом остается определить указанные потенциалы любым известным методом расчета сложных электрических цепей.

Второй неизвестной величиной в выражении (2.54) является внутреннее сопротивление Ri эквивалентного генератора. Для его определе-

ния необходимо найти входное сопротивление схемы рис. 2.11, а, которое и будет этим сопротивлением Ri . При этом наличие источников ЭДС и

источников тока не имеет значения для сопротивления схемы, так как их внутренние сопротивления равны соответственно либо нулю, либо бесконечности. Учитывая, что внутреннее сопротивление источников ЭДС нулевое и на величины сопротивлений ветвей не влияет, преобразуем схему рис. 2.11, а, содержащую источники ЭДС, в схему рис. 2.12, содержащую только сопротивления без источников.

Анализ схемы рис. 2.12 показывает, что в представленном виде эта схема не содержит последовательных и параллельных соединений. Соединения сопротивлений в этой схеме представляют собой звезды и треугольники:

сопротивления R4 , R2 , R5 , соединенные между собой в узле d , со-

единенызвездой;

сопротивления R5 , R3 , R6 , соединенные между собой в узле c , также соединенызвездой;

сопротивления R6 , R4 , R5 соединенымеждусобойтреугольником;

сопротивления R5 , R2 , R3 соединены между собой также треугольником.

34

a

R5

c R3

Рис. 2.12. Схема анализируемой цепи без источников ЭДС для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Для преобразования сложной электрической цепи, схема которой содержит соединения сопротивлений треугольниками и звездами, проще всего преобразовать один из треугольников сопротивлений в эквивалентную ему звезду.

Для схемы рис. 2.12 преобразуем, например, треугольник сопротивлений R5 , R2 , R3 в эквивалентную ему звезду. Это преобразование иллюстриру-

етсярис. 2.13, a ,b.

В соответствии с правилом преобразования треугольника сопротивлений R5 , R2 , R3 (рис. 2.13, a) в эквивалентную ему звезду R5,2 , R2,3 , R5,3 (рис. 2.13, б) запишемсопротивлениялучейзвезды R5,2 , R2,3 , R5,3 (рис. 2.13, б)

Образовавшийся при этом дополнительный узел q является промежуточным и во всех последующих преобразованиях не участвует.

35

R3

R5,3

R5,3

Рис. 2.13. Преобразование треугольника сопротивлений R5, R2, R3 (а) в эквивалентную звезду R5,2, R2,3, R5,3 (б)

После определения сопротивлений R5,2 , R2,3 , R5,3 лучей звезды

рис. 2.13, б, эквивалентной исходному треугольнику рис. 2.13, а сопротивлений R5 , R2 , R3 , можно будет найти входное сопротивление схемы

рис. 2.12 относительно точек e b . Это сопротивление и будет внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Ri схем рис. 2.8, рис. 2.11, б.

Для этого схему рис. 2.12 необходимо перерисовать с учетом замены треугольника сопротивлений R5 , R2 , R3 рис. 2.13, а на эквивалентную ему

звезду сопротивлений R5,2 , R2,3 , R5,3 рис. 2.13, б. Такая схема показана на рис. 2.14. После преобразования треугольника сопротивлений R5 , R2 , R3 на эквивалентную ему звезду сопротивлений R5,2 , R2,3 , R5,3 сопротивления R5,2 и R4 оказываются включенными последовательно и их общее сопротивление

Сопротивления R5,3 и R6 также оказываются включенными последовательно между собой, и их общее сопротивление R5,3,6 равно их сумме:

36

R5,2 R2,3

q

R5,3

Рис. 2.14. Эквивалентная схема анализируемой цепи для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора Ri

Полученные в выражениях (2.63) и (2.64) сопротивления R5,2,4 и R5,3,6

оказываются включенными между собой параллельно. Их общее сопротивление (относительно узлов q и a)

точек e b схемы рис. 2.14, рис. 2.12, рис. 2.11, а оказывается равным внутреннемусопротивлению Ri эквивалентногогенератора(рис. 2.11, б, рис. 2.8):

После определения величины ЭДС эквивалентного генератора Eэг (2.58) и его внутреннего сопротивления Ri (2.66) можно найти величину искомого тока I1 из выражения (2.54):

37

В описанном нами методе эквивалентного генератора внутреннее сопротивление Ri эквивалентного генератора было получено путем преоб-

разования исходной анализируемой схемы рис. 2.9 к виду рис. 2.11, б путем упрощения исходной схемы (2.60)–(2.66). Однако существует другой способ расчета внутреннего сопротивления эквивалентного генератора – через использование параметров режимов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ) на выходе цепи (относительно точек схемы, для которых определяется её сопротивление). Мы не будем подробно рассматривать этот способ определения величины Ri , запишем только выражение

для определения этого сопротивления через ток короткого замыкания IКЗ и напряжение холостого хода UХХ :

i IКЗ

где режимы холостого хода и короткого замыкания определяются относительно точек e b схемы рис. 2.14.

Таким образом, найти входное сопротивление некоторой схемы относительно двух заданных точек схемы можно двумя основными путями: преобразованием сложной схемы в простую или взяв отношение напряжения холостого хода к току короткого замыкания относительно заданных точек схемы.

Порядок расчета сложной электрической цепи методом эквивалентного генератора таков:

сопротивление R , включенное между двумя точками сложной электрической цепи, в котором необходимо найти ток IR , представить на-

грузкой и отключить от остальной части цепи, создав таким образом относительно этих точек цепи режим холостого хода с напряжением UХХ меж-

ду ними;остальную часть сложной цепи представить активным двухполюс-

ником с некоторой ЭДС Eэг и внутренним сопротивлением Ri , последова-

тельное включение которых представляет собой эквивалентный генератор;любым известным способом рассчитать величину ЭДС эквивалентного генератора Eэг как напряжение холостого хода UХХ относитель-

но точек схемы, от которых отключено сопротивление с искомым током;величину внутреннего сопротивления генератора Ri определить

либо как входное сопротивление схемы относительно точек цепи, от кото-

38