2.2. Анализ (расчет) сложных электрических цепей методом контурных токов

В соответствии с методом контурных токов (МКТ) предполагается,

что в каждом из контуров течет свой контурный ток, не разветвляющийся в узлах электрической цепи. Такое предположение имеет целью уменьшить число одновременно решаемых уравнений до числа независимых контуров в схеме. После того как эти специально введенные контурные токи буду найдены, можно из них рассчитать истинные токи ветвей. Такова сущность метода контурных токов.

Схема исходной анализируемой цепи рис. 2.1 в настоящем параграфе приведена к виду рис. 2.6, удобному для расчета токов методом контурных токов. Она отличается от предыдущей схемы рис. 2.5 тем, что вместо направлений обходов контуров, выбранных по часовой стрелке и обозначенных прерывистыми линиями, в схеме рис. 2.6 эти направления представляют собой направления протекания контурных токов I11, I22 , I33 .

Обозначения полярностей и направлений падений напряжений UR1 , UR2 ,

U R3 , U R4 , U R5 , U R6 на сопротивлениях R1, R2 , R3, R4 , R5 , R6 в схеме рис. 2.6, в отличие от схемы рис. 2.5, отсутствуют, так как в методе контурных токов используются различные падения напряжений – и от токов ветвей I1, I2 , I3, I4 , I5, I6 (реально существующих в цепи), и от контурных токов

ветственно. Обозначения падений напряжений U E1 , U E5 , U E1ЭКВ , U E6ЭКВ , создаваемых источниками ЭДС E1, E5 , E1ЭКВ , E6ЭКВ , сохранены, так как они не

зависят от тех или иных представлений токов в схеме.

Междупридуманнымидляупрощениярасчетовконтурнымитоками I11 , I22 , I33 и реально существующими в цепитоками ветвей I1 , I2 , I3 , I4 , I5 есть однозначное соответствие. В первом контуре, где течет абстрактный ток I11 (из узла a через источник ЭДС E1 , далее через источник ЭДС E1ЭКВ , затем через сопротивление R1 , через узел b, через сопротивление R2 и сопротивление R4 и снова в узел a, никуда не ответвляясь), в первой ветви течет истинный (реально существующий в цепи) ток I1 , и, поскольку в этой первой ветви больше никаких контурных токов нет, а направление контурного тока I11 совпадает с направлением тока ветви I1 , то очевидно, что ток первой ветви I1 равенповеличинеинаправлениюконтурномутоку I11 :

19

E1ЭКВ

Рис. 2.6. Схема электрической цепи для расчета токов в цепи методом контурных токов

Во второй ветви, где в направлении, совпадающем с направлением тока ветви I2 , протекает контурный ток первого контура I11 , а в направле-

нии, противоположном току ветви I2 , протекает контурный ток второго

I1, I2 , I3, I4 , I5, I6 ветвей схемы рис. 2.6 через контурные токи I11, I22 , I33 . Для того чтобы найти контурные токи I11 , I22 , I33 , следует составить

для них уравнения по второму закону Кирхгофа. Это делают аналогично

20

тому, как ранее составлялись уравнения для токов ветвей I1 , I2 , I3 , I4 , I5

(2.13)–(2.15), но в предположении, что в контурах текут только контурные

токи I11 , I22 , I33 .

В первом контуре (где протекает контурный ток I11 ) падения напряжения на сопротивлениях первого контура R1 , R2 и R4 будут таковы: от протекающего в них по часовой стрелке контурного тока I11 падения напряжений берутся положительными; от протекающего в сопротивлении R2 контурного тока I22 , который противоположен контурному току I11 в этом

сопротивлении, падение напряжения берется со знаком «минус»; от протекающего в сопротивлении R4 контурного тока I33 , который противополо-

жен контурному току I11 в этом сопротивлении, падение напряжения так-

же берется со знаком «минус». Тогда сумма падений напряжений на элементах первого контура с учетом падений напряжения на источниках ЭДС, входящих в первый контур, по второму закону Кирхгофа:

Аналогично составим уравнение второго закона Кирхгофа для второго и третьего контуров анализируемой схемы рис. 2.6:

Уравнения (2.24)–(2.26) носят название контурных уравнений, или уравнений метода контурных токов для анализируемой схемы. Контурные уравнения (2.24)–(2.26) для удобства восприятия можно записать в виде системы уравнений:

Закономерность, наблюдаемая в получившихся уравнениях метода контурных токов (2.27), дает правило составления контурных уравнений:

количество уравнений метода контурных токов для заданной сложной схемы электрической цепи будет равно числу независимых контуров, имеющихся в этой цепи. В левой части уравнений метода контурных токов записывают алгебраическую сумму падений напряжений на сопротив-

21

лениях контура от всех контурных токов, протекающих в этих сопротивлениях, а в правой части уравнений метода контурных токов записывают алгебраическую сумму ЭДС, входящих в этот контур.

Введя понятия контурного сопротивления, а также общего сопро-

тивления смежных контуров, можно упростить вид полученных выше уравнений метода контурных токов (2.27). Поясним это далее.

Контурное сопротивление есть сумма сопротивлений, входящих в состав рассматриваемого контура.

Например, для первого контура схемы электрической цепи рис. 2.6 контурное сопротивление R11 есть сумма сопротивлений первого контура

R1 , R2 и R4 :

где R22 и R33 – контурные сопротивления второго и третьего контуров.

Общее сопротивление смежных (соседних) контуров есть сопротивление, через которое текут два контурных тока – ток рассматриваемого контура и ток смежного с ним контура.

Общее сопротивление для первого и второго контуров обозначим как R12 или R21 . Оно равно:

Общее сопротивление для второго и третьего контуров обозначим как R23 или R32 :

Общее сопротивление для первого и третьего контуров обозначим как R13 или R31 :

Учитывая введенные понятия контурных сопротивлений (выражения (2.28)–(2.30) и общего сопротивления смежных контуров (выражения (2.31)–(2.33), систему контурных уравнений (2.27) можно записать:

22

После того как система уравнений метода контурных токов преобразована из вида (2.27) к виду (2.34), можно изложить формулировку правила составления контурных уравнений в таком виде:

в левой части каждого контурного уравнения записывают произведение контурного тока рассматриваемого контура на контурное сопротивление этого контура со знаком «плюс» плюс произведение каждого из имеющихся общих сопротивлений рассматриваемого и смежных контуров на контурный ток соответствующего смежного контура, если он сонаправлен с контурным током рассматриваемого контура, или минус это произведение, если ток смежного контура направлен противоположно контурному току рассматриваемого контура;

в правой части каждого контурного уравнения записывают источники ЭДС, входящие в состав рассматриваемого контура со знаком «плюс», если стрелки внутри источников сонаправлены с контурным током рассматриваемого контура, и со знаком «минус», если стрелки внутри источников направлены противоположно контурному току рассматриваемого контура.

В полученную систему уравнений (2.34) следует подставить численные значения сопротивлений, источников ЭДС и тока и решить эту систему любым известным способом.

После решения системы уравнений (2.34) полученные значения контурных токов подставляют в уравнения, выражающие токи ветвей через контурные токи (2.18)–(2.23). Полученные таким образом значения токов ветвей проверяют подстановкой их значений в уравнения второго закона Кирхгофа (2.16).

Таким образом, последовательность расчета (анализа) сложных электрических и радиоэлектронных схем методом контурных токов выглядит следующим образом:

заданную для анализа (расчета) электрическую схему перерисовываютсуказаниемнанейнаправленийискомыхтоковветвейиконтурныхтоков;

источники тока пересчитывают в эквивалентные источники ЭДС;

записывают соотношения между токами ветвей и контурными токами в схеме;

записывают систему уравнений по второму закону Кирхгофа для контурных токов либо получают контурные уравнения подстановкой соотношений между токами ветвей и контурными токами в уравнения второго закон Кирхгофа для токов ветвей;

23