Вопрос 1. Аналитический сигнал и его спектр. |
|
|
|
|
Комплексное представление вещественного сигнала |
j t |
|
j |
|
|
|
e |
||
s( t ) Re s( t ) |
u( t ) U cos( t ) Re U e |
|
|
|
ОТС |
Лекция #5 |
22 |
Вопрос 2. Квадратурный и cопряженный сигнал
Сигнал, сопряженный с вещественным сигналом.
|
1 |
0 |
j t |
1 |
|
j t |
|
s( t ) |
|
S( j )e |
d |
|
S( j )e |
d sc ( t ) ss ( t ) |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
|
0 |
|
Аналитический сигнал – комплексный сигнал, отображающий (соответствующий) вещественный сигнал и имеющий спектральную плотность только в области положительных частот.
|
|
|
|
1 |
|
|
j t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( t ) |
|
S( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
( t ) |
|
||||
z |
S |
|
d Re z |
S |
( t ) j Im z |
S |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
( t ) s( t ) |
j s ( t ) |
|
|
|
|||||
|
zS ( t ) s( t ) j s ( t ) |
zs |
|
|
|
|||||||||||||
s(t) |
|
|
квадратурное дополнение аналитического сигнала. |
S(jw) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sc(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ss(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОПФ |
|
|
-w |
О +w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОТС |
Лекция #5 |
23 |
|
Представление вещественного сигнала с использованием аналитического сигнала
s( t ) |
zS ( t ) zS ( t ) |
|
|
|
( t ) |
|
|
|
|||
|
Re z |
||||
|
2 |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
ОТС |
Лекция #5 |
24 |
Вопрос 3. Преобразование Гильберта
Реальная и мнимая части спектра произвольных сигналов связаны преобразованием Гильберта.
Вещественный сигнал и его квадратурное дополнение связаны преобразованием Гильберта
Преобразование Гильберта есть свертка сигнала и ядра 1/πt
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
s( ) |
|
|
||||||||
s( t ) s ( ) |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
s( ) |
|
|
|
|
|||||
s( t ) s( ) |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ОТС |
Лекция #5 |
25 |
Спектральная плотность аналитического сигнала
Реальная и мнимая части спектра произвольных сигналов связаны преобразованием Гильберта.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Zs ( j ) zs ( t ) e j t dt S( j ) jS( j ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
0 |
|
|
|
|
|
Zs ( j ) |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
2 S( j ) , |
( )= |
( ) < |
||||
|
S( jw ) j signum( w ) S( jw ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
{− ( ) ≥ |
||
ОТС |
Лекция #5 |
26 |
Санкт- Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. профессора М. А. Бонч-Бруевича
Кафедра «Теории эдектрических цепей и связи »
Математический и Физический спектр непериодического сигнала
Сопоставим комплексную и амплитудно -фазовую формы ОПФ
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом
|
|
s(t) |
|
1 |
|
2S ( ) cos[ t ( )]d |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
1 |
|
j t |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 S( j )d e |
|
|
|
1 |
|
|
|||
s(t) |
|
S ( ) e j [ t ( )]d |
|||||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2S ( ); 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
S ( ) 2S ( )1( ) S (0); |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
Реализация преобразования Гильберта в частотной области
Одномоментно у спектральных компонент вещественного сигнала в области положительных частот необходимо изменить фазу на –π/2 (-90о), а у спектральных компонент в области отрицательных частот изменить фазу на + π/2 (+90о).
Если вещественный сигнал узкополосный W<<fo , его можно считать квазигармоническим, тогда преобразователь Гильберта представляет собой фазовращатель на –π/2 (-90о). Его можно реализовать с помощью линии задержки
сигнала на ¼ длины волны для опорной частоты λ=сТо=с/fо).
|
|
–π/2 |
|
|
(2 |
) |
(2 |
− 2 )= (2 |
) |
ОТС |
Лекция #5 |
28 |
Применение концепции аналитического сигнала и преобразования Гильберта в телекоммуникации
Квадратурная обработка вещественных сигналов для выделения огибающей амплитуд и начальной фазы.
ОТС |
Лекция #5 |
29 |
Выводы:
1.Физическим измерениям во временной и частотной области доступны только вещественные сигналы.
2.Аналитический сигнал, отображающий реальный сигнал – это комплексный сигнал вещественная часть которого совпадает с реальным сигналом, а мнимая часть является сопряженным по Гильберту сигналом.
3.Спектральная плотность аналитического сигнала отлична от нуля только в области положительных частот и в 2 раза больше , чем спектральная плотность вещественного сигнала в положительной области частот.
4.Модуль аналитического сигнала называется огибающей вещественного сигнала и для узкополосных квазигармонических сигналов является медленно изменяющейся функцией времени.
5.Аргумент аналитического сигнала является локальной фазой (начальной фазой медленно изменяющейся во времени) вещественного сигнала.
6.Скорость изменения аргумента аналитического сигнала является мгновенной частотой вещественного сигнала.
7.Мнимая часть аналитического сигнала находится преобразованием Гильберта реального, доступного измерениям , сигнала.
8.Для реальных узкополосных сигналов преобразование Гильберта можно приближенно заменить на фазовращатель на -90о.
ОТС |
Лекция #5 |
30 |
Домашнее задание
Найти сумму и разность синфазной I(t) и квадратурной Q(t) компонент сигналов:
S(t)=Ucos[Ωt+ ]cos[wot] |
ФНЧ не пропускает сигналы с частотой выше Ω |
S(t)=U{1+cos[Ωt+ ]}cos[ωt] |
{wo не равно ω }>> Ω |
S(t)=Ucos{wot+cos[Ωt+ ]} |
|
S(t)=Ucos{ωt+sin[Ωt+ ]} |
|
ОТС |
Лекция #5 |
31 |