2. Комплексные числа.

Множество всевозможных пар действительных чисел называется множеством комплексных чисел, если выполняются условия:

1) определено сравнение (a,b)=(c,d) Û a=c Ù b=d

2) определено cложение (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

3) определено умножение (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

При этом число (0,0) называется нулём и обозначается 0, число (1,0) называется единицей и обозначается 1, число (0,1) называется мнимой единицей и обозначается i. Комплексные числа (a,b) можно обозначать в виде a+ib. При таких обозначениях арифметические операции над комплексными числами выполняются по обычным алгебраическим правилам, но при этом i² заменяется на -1. Число a-ib называется комплексно сопряжённым к числу a+ib.

Модулем комплексного числа u=a+ib называется действительное число . При этом можно записатьu=|u|(cosj+isinj) (тригонометрическая форма записи), где j - некоторый угол из промежутка [0;2p) называемый аргументом числа u. Справедливы свойства:

|u|³0

|-u|=|u|

|uv|=|u||v|

|u+v|£|u|+|v| (неравенство треугольника для модуля)

|u-v|³|u|-|v| (следствие из неравенства треугольника)

uⁿ=|u|ⁿ(cosnj+isinnj) (формула возведения в степень)

(формула извлечения корня n-ой степени)

Для вычисления квадратного корня кроме общего способа можно использовать специальный приём. Пусть требуется вычислить квадратный корень из числа a+ib. Обозначим этот корень через x+iy. По определению квадратного корня a+ib = (x+iy)². Раскрывая скобки и сравнивая получаем систему

Её решения дадут нам два значения квадратного корня.

Пример 1.

(1+i)(5-i)=5+5i-i-i²=5+5i-i+1=6+4i (i² заменили на -1)

Ответ: 6+4i

Пример 2.

(домножили числитель и знаменатель на 1-i (сопряжённое к 1+i) и затем i² заменили на -1)

Ответ: 1+i

Пример 3.

(1-i)⁵ = ((cos(7p/4)+isin(7p/4))⁵ = 4(cos(35p/4)+isin(35p/4)) =

= 4(-/2+i/2) = -4+4i (перешли к тригонометрической форме записи и воспользовались формулой возведения в степень)

Ответ: -4+4i

Пример 4.

Вычислить . Решение: ,обозначим значения корня (их четыре) через u₀, u₁, u₂, u₃. По формуле извлечения корня .

При к=0 получаем u₀=cos(p/8)+isin(p/8)

При к=1 получаем u₁=cos(5p/8)+isin(5p/8)

При к=2 получаем u₂=cos(9p/8)+isin(9p/8)

При к=3 получаем u₃=cos(13p/8)+isin(13p/8)

Ответ: { cos(p/8)+isin(p/8); cos(5p/8)+isin(5p/8); cos(9p/8)+isin(9p/8); cos(13p/8)+isin(13p/8) }

Пример 5.

Вычислить .

Составим систему Û Þ x⁴-3x²-4=0.

Обозначим t=x² Þ t²-3t-4=0 Þ t₁=-1, t₂=4 Þ x²=4 Þ x₁=-2, y₁=-1 и x₂=2, y₂=1

Ответ: { -2-i; 2+i }

Пример 6.

Решить уравнение x² + 4x + 5 = 0. Находим D = 16 - 4×5 = -4 < 0 Þ корни комплексные:

Ответ: { -2-i ; -2+i }

666

Вычислить:

1. (1+2i)(2+i) 2. (1+2i):(2+i) 3.

4. 5.

Решить уравнения:

6. x² - 16x + 65 = 0 7. 9x² + 6x + 5 = 0

8. x⁴ + 2x² - 3 = 0 9. x⁴ + 6x² + 25 = 0

Вычислить:

10. (2+i)(3-i) 11. (4+2i):(3-i) 12.

13.

Решить уравнения:

14. x² + 12x + 40 = 0 15. x⁴ - 4x² - 5 = 0

16. x⁴ - 6x² + 25 = 0

555 Решение алгебраических уравнений.

Поиск рациональных корней алгебраических уравнений с целыми коэффициентами основан на теореме: если рациональное число - корень такого уравнения, то его числитель - множитель свободного члена, а знаменатель - множитель коэффициента при старшей степени. Для подстановки чисел в уравнение можно применять схему Горнера. В комплексной области любое алгебраическое уравнение n-ой степени имеет ровно n корней.

Схема Горнера.

Вычисления по схеме Горнера заносим в таблицу из двух строк. Слева от таблицы пишем проверяемое число. В первой строке записываем коэффициенты исходного уравнения, включая нулевые. Затем в первую ячейку второй строки переписываем число из верхней ячейки, во вторую ячейку второй строки записываем сумму верхнего числа и предыдущего, умноженного на проверяемое число и т.д. Если в последней ячейке получится 0, то проверяемое число - корень, а остальные числа - коэффициенты алгебраического уравнения с уменьшенной на один степенью. Решая это уравнение получим остальные корни.

Пример 7.

Решить уравнение x³ + x - 2 = 0. Рациональные корни этого уравнения ищем среди чисел ±1, ±2. Проверяем число 1:

1	1	0	1	-2
	1	1	2	0

Так как в последней ячейке ноль, то x₁=1. Остальные корни ищем из уравнения x² + x + 2 = 0 (его коэффициенты берём из второй строки). D = 1 - 8 = - 7 < 0 Þ

Ответ:

666

Решить уравнения:

17. x³ - x² - 2x + 2 = 0 18. x³ + x² - 2 = 0

19. x⁵ - 4x³ - 8x² + 32 = 0 20. x³ - 12x² + 47x -60 = 0

21. x⁴ - 10x³ + 35x² - 50x + 24 = 0

555

Выучить наизусть

|u+v|£|u|+|v| |u-v|³|u|-|v| u=|u|(cosj+isinj) un=|u|n(cosnj+isinnj)

Ответы.

1. 5i 2. 0,8+0,6i 3. 3+i; -3-i

4. 2(cos(p/10+2kp/5)+isin(p/10+2kp/5)), k=0,1,2,3,4

5. Ö2(cos(p/36+2kp/3)+isin(p/36+2kp/3)), k=0,1,2 6. 8±i 7. -1/3±2i/3

8. ±1; ±iÖ3 9. 1±2i; -1±2i 10. 7+i 11. 1+i 12. ±(3-i)

13. 2(cos(3p/8+kp/2)+isin(3p/8+kp/2)), k=0,1,2,3 14. -6±2i 15. ±i; ±Ö5 16. 2±i; -2±i 17. 1; ±Ö2 18. 1; -1±i 19. ±2; -1±iÖ3 20. 3; 4; 5 21. 1;2;3;4

Вычислить u+v, u-v, uv, ,

3.1 u=3-4i v=8+6i 3.2 u=21+20i v=9-40i

3.3 u=-16+30i v=-21-20i 3.4 u=-9-40i v=21-20i

3.5 u=24+10i v=-15+8i 3.6 u=-21+20i v=-8-6i

3.7 u=24-10i v=-21-20i 3.8 u=3+4i v=-5+12i

3.9 u=21-20i v=7+24i 3.10 u=-7+24i v=24-10i

3.11 u=-7+24i v=-16+30i 3.12 u=7+24i v=-5+12i

3.13 u=-7-24i v=5+12i 3.14 u=21-20i v=-16-30i

3.15 u=-16-30i v=16+30i 3.16 u=3-4i v=7-24i

3.17 u=16+30i v=-15+8i 3.18 u=-8-6i v=16-30i

3.19 u=24+10i v=8+6i 3.20 u=-3+4i v=7-24i

3.21 u=21+20i v=16+30i 3.22 u=5-12i v=9-40i

3.23 u=5-12i v=8+6i 3.24 u=-9+40i v=-16+30i

3.25 u=5-12i v=-7-24i 3.26 u=-16-30i v=21+20i

3.27 u=-16+30i v=15-8i 3.28 u=-7-24i v=-8-6i

3.29 u=21-20i v=-5-12i 3.30 u=-8-6i v=-15-8i

3.31 u=-16-30i v=-3+4i 3.32 u=7+24i v=-9+40i

3.33 u=-24-10i v=21-20i 3.34 u=-7-24i v=8+6i

3.35 u=15-8i v=8-6i

Возвести в степень, преобразовав в тригонометрическую форму и вычислить корень этой же степени:

4.1 (-Ö3+i)³ 4.2 (-1+iÖ3)⁷ 4.3 (-1+i)⁷

4.4 (1-iÖ3)⁵ 4.5 (1+iÖ3)³ 4.6 (Ö3-i)³

4.7 (Ö3+i)³ 4.8 (-1+i)³ 4.9 (-Ö3-i)³

4.10 (-Ö3+i)⁷ 4.11 (-Ö3+i)³ 4.12 (1-i)⁵

4.13 (1+iÖ3)⁵ 4.14 (1-iÖ3)³ 4.15 (1-iÖ3)⁷

4.16 (-Ö3-i)³ 4.17 (-1+iÖ3)³ 4.18 (-1+i)⁷

4.19 (1-i)⁷ 4.20 (1-iÖ3)³ 4.21 (1-i)³

4.22 (-1+iÖ3)⁵ 4.23 (-1-i)⁵ 4.24 (-Ö3-i)³

4.25 (Ö3-i)⁵ 4.26 (1+i)⁷ 4.27 (1-i)⁷

4.28 (-Ö3+i)³ 4.29 (-1-i)⁷ 4.30 (1+i)³

4.31 (-1+iÖ3)³ 4.32 (-Ö3-i)³ 4.33 (-1-iÖ3)⁵

4.34 (-1+i)⁵ 4.35 (-1-iÖ3)⁷

Найти действительные и комплексные корни уравнений:

5.1 x⁴+10x³+37x²+58x+30=0 75x³-35x²-8x+4=0

5.2 x⁴-5x³-6x²+84x-144=0 12x³-68x²+115x-50=0

5.3 x⁴-9x³+30x²-52x+48=0 18x³-15x²-100x+125=0

5.4 x⁴-2x³-7x²+18x-18=0 18x³-33x²-28x-5=0

5.5 x⁴+8x³+22x²+28x+16=0 75x³-140x²+87x-18=0

5.6 x⁴-9x³+30x²-46x+24=0 12x³+40x²+39x+9=0

5.7 x⁴-9x³+25x²-9x-44=0 12x³+20x²+4x-4=0

5.8 x⁴+5x³+x²-3x+36=0 20x³+60x²+60x+20=0

5.9 x⁴-5x³-8x²+82x-120=0 20x³+76x²+64x-16=0

5.10 x⁴-7x³+16x² - 24=0 75x³+40x²-33x-18=0

5.11 x⁴+7x³+11x²-25x-66=0 12x³-56x²+80x-32=0

5.12 x⁴-6x³+10x²+6x-11=0 12x³+4x²-5x-2=0

5.13 x⁴-3x³-11x²+13x+60=0 75x³+35x²-123x+45=0

5.14 x⁴-3x³-10x²+6x+72=0 45x³+57x²+23x+3=0

5.15 x⁴-3x³-8x²+22x-24=0 18x³+33x²-28x+5=0

5.16 x⁴-7x³+20x²-32x+24=0 12x³+8x²-20x-16=0

5.17 x⁴+5x³-2x²-42x-72=0 45x³+42x²-4x-8=0

5.18 x⁴-6x³+14x²-18x+9=0 12x³+32x²+23x+5=0

5.19 x⁴-11x³+46x²-90x+72=0 45x³-141x²+95x+25=0

5.20 x⁴+2x³-14x²-32x-32=0 20x³-104x²+145x-25=0

5.21 x⁴-10x³+37x²-62x+40=0 20x³-76x²+64x+16=0

5.22 x⁴-11x³+48x²-96x+72=0 50x³-85x²-92x-20=0

5.23 x⁴ - 3x²+14x-12=0 12x³-80x²+175x-125=0

5.24 x⁴+7x³+18x²+28x+16=0 12x³-76x²+155x-100=0

5.25 x⁴+2x³-10x²-44x-48=0 20x³+44x²+28x+4=0

5.26 x⁴+8x³+25x²+36x+18=0 20x³+68x²+69x+18=0

5.27 x⁴-7x³+16x²-18x+8=0 18x³+27x² - 9=0

5.28 x⁴-5x³-2x²+42x-72=0 50x³+55x²-28x+3=0

5.29 x⁴-3x³-3x²+31x-42=0 18x³+60x²+56x+16=0

5.30 x⁴-4x³-8x²+72x-96=0 75x³+170x²+128x+32=0

5.31 x⁴ - 10x²-20x-16=0 75x³-20x²-17x-2=0

5.32 x⁴+13x³+66x²+156x+144=0 20x³+104x²+145x+25=0

5.33 x⁴-4x³ + 8x-32=0 50x³+110x²+78x+18=0

5.34 x⁴-8x³+23x²-34x+24=0 18x³-93x²+152x-80=0

5.35 x⁴-8x³+24x²-32x+15=0 20x³+44x²+28x+4=0