- •Основные обозначения.
- •1. Элементарные сведения.
- •Контрольные задания
- •2. Комплексные числа.
- •555 Решение алгебраических уравнений.
- •3. Линейная алгебра. Матрицы и основные операции с ними.
- •Определители 2-го и 3-го порядка.
- •Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.
- •Контрольные задания
- •4. Аналитическая геометрия. Системы координат на плоскости и в пространстве.
- •Векторы и линейные операции над ними.
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
- •555 Прямая на плоскости и различные способы её задания.
- •555 Прямая и плоскость в пространстве и различные способы их задания.
- •555 Линии второго порядка.
- •555 Некоторые поверхности второго порядка.
- •Контрольные задания
- •5. Функции одного аргумента. Понятие функции и способы задания.
- •Предел функции и числовой последовательности.
- •Понятие числового и степенного ряда.
- •Непрерывность функции, точки разрыва.
- •Контрольные задания
- •6. Производная и дифференциал.
- •555 Приближенное решение уравнений.
- •Контрольные задания
- •7. Неопределенный интеграл.
- •Свойства неопределённых интегралов.
- •Контрольные задания
- •8. Определенный интеграл.
- •Приложения определённого интеграла:
- •9. Функции нескольких аргументов.
- •10. Дифференциальные уравнения.
- •Методы решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка.
- •11. Общая задача линейного программирования.
- •Контрольные задания
- •Приложение. Задачи для подготовки к экзамену.
- •Учебная литература.
Контрольные задания
Найти производную 2-го порядка и дифференциал 1-го порядка
15.1 y = xsin(2x) 15.2 y = xcos(2x) 15.3 y = xe2x
15.4 y = xe-2x 15.5 y = cos(x2) 15.6 y = sin(x2)
15.7 y = ln(1+x2) 15.8 y = log(1-x2) 15.9 y = esixx
15.10 y = ecosx 15.11 y = e-cosx 15.12 y = e-sinx
15.13 y = sin(x3) 15.14 y = cos(x3) 15.15 y = xsin(3x)
15.16 y = xcos(3x) 5.17 y = xe3x 15.18 y = xe-3x
15.19 y = xlnx 15.20 y = x2lnx 15.21 y = x-2lnx
15.22 y = xln2x 15.23 y = xln3x 15.24 y = x2ln2x
15.25 y = arcsin(2x) 15.26 y = arccos(3x) 15.27 y = arctg(2x)
15.28 y = arcctg(5x) 15.29 y = ln(cosx) 15.30 y = ln(sinx)
15.31 y = ln(tgx) 15.32 y = ln(ctgx) 15.33 y = cos(lnx)
15.34 y = sin(lnx) 15.35 y = tg(lnx)
Исследовать и построить график функции
16.1 y = (8x2+18x+17)e-x 16.2 y = (3x2-10x+11)ex
16.3 y = (2x2-9x+12)ex 16.4 y = (x2-27x-60)/
16.5 y = (x2-2x-2)ex 16.6 y = (3x2-1x+3)ex
16.7 y = (3x2-40x+105)16.8 y = (x2-24x-36)/
16.9 y = (x2-15x+90)16.10 y = (6x2+13x+11)e-x
16.11 y = (x2-12x-9)/16.12 y = (x2-39x-126)/
16.13 y = (x2-10x+40)16.14 y = (2x2+5x+4)e-x
16.15 y = (2x2+7x+8)e-x 16.16 y = (4x2-4x+1)ex
16.17 y = (x2-20x+175)16.18 y = (x2-30x-72)/
16.19 y = (x2-9x-6)/16.20 y = (18x2-21x+23)ex
16.21 y = (3x2-25x+60)16.22 y = (x2-21x-18)/
16.23 y = (18x2+45x+46)e-x 16.24 y = (3x2-35x+90)
16.25 y = (3x2-55x+450)16.26 y = (x2-18x-15)/
16.27 y = (x2-15x-12)/16.28 y = (x2-5x+10)
16.29 y = (49x2+63x+67)e-x 16.30 y = (3x2-50x+315)
16.31 y = (x2-33x-84)/16.32 y = (25x2-50x+49)ex
16.33 y = (18x2+27x+28)e-x 16.34 y = (x2-36x-105)/
16.35 y = (3x2+1x+3)e-x
Решить уравнение приближённо
17.1 x3+x-1=0 17.2 x5+x-1=0
17.3 x3+2x-2=0 17.4 x5+2x-2=0
17.5 x3+3x-3=0 17.6 x5+3x-3=0
17.7 x5+3x-2=0 17.8 x3+4x-3=0
17.9 x5+4x-3=0 17.10 2x=cosx
17.11 2x=e-x 17.12 3x=cos2x
17.13 3x=e-2x 17.14 x3=2(x+1)
17.15 x5=3(x+1) 17.16 x3+4x-4=0
17.17 x5+4x-4=0 17.8 x3+5x-5=0
17.19 x5+5x-5=0 17.20 x3+6x-6=0
17.21 x5+6x-6=0 17.22 x5+5x-4=0
17.23 x3+6x-5=0 17.24 x5+6x-5=0
17.25 4x=cos3x 17.26 4x=e-3x
17.27 5x=cos4x 17.28 5x=e-4x
17.29 x3=5(x+1) 17.30 x5=4(x+1)
17.31 2x3+x-1=0 17.32 2x5+x-1=0
17.33 3x3+2x-2=0 17.34 3x5+2x-2=0
17.35 4x3+3x-3=0
7. Неопределенный интеграл.
Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), что F¢(x) = f(x). Неопределённым интегралом называется множество всех первообразных. Он обозначается так: òf(x)dx. В этой записи f(x)dx называется подынтегральным выражением, а f(x) - подынтегральной функцией. При этом можно записать òf(x)dx=F(x)+C, где F(x) - одна из первообразных, то есть F¢(x)=f(x).
Свойства неопределённых интегралов.
1) òd(f(x))=f(x)+C
2) dòf(x)dx=f(x)dx
3) òkf(x)dx=kòf(x)dx, где k - постоянная величина.
4) ò(f(x)±g(x))dx=òf(x)dx±òg(x)dx
5) òudv=uv-òvdu (интегрирование по частям)
6) òf(x)dx=F(x)+C Û òf(j(t))j¢(t)dt=F(j(t))+C (замена переменной
интегрирования)
7) òf(x)dx=F(x)+C Û òf(ax+b)dx=F(ax+b)+C
Таблица неопределенных интегралов.
Интегрирование некоторых классов функций.
Рациональные функции интегрируются разложением подынтегральной функции методом неопределённых коэффициентов на сумму целой части и простейших дробей.
Пример 1.
Делим уголком |
x3 |
x2 - 3x+2 | |
|
x3-3x2+2x |
x+3 | |
|
3x2 - 2x |
|
|
|
3x2 - 9x+6 |
| |
|
7x-6 |
|
Раскладываем знаменатель на множители x2 - 3x+2 = (x - 1)(x - 2)
7x-6=A(x-2) + B(x-1)
x=1 Þ A=-1 x=2 Þ B=8
Ответ:
Тригонометрические функции R(sinx,cosx) интегрируются заменой переменной: 1) если R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx) то t = cosx
2) если R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx) то t = sinx
3) если R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx) то t = tgx или t = ctgx
4) t = tg(x/2) или t = ctg(x/2) (универсальная тригонометрическая подстановка)
Пример 2.
подходит первый случай, поэтому t=cosx
Ответ: -ln(cosx+1)+C
Функции вида интегрируются подстановками Эйлера: 1) если a>0, то ax2+bx+c=a(x+t)2
2) если c>0, то ax2+bx+c=(xt+Öc)2
3) если ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), то ax2+bx+c=(x-x1)2t2
Пример 3.
подходит первый случай, поэтому x2+x+1=(x+t)2
...
Функции вида интегрируются тригонометрическими подстановками: 1) если x2+a2, то x=atgt или x=actgt
2) если -x2+a2, то x=asint или x=acost
3) если x2-a2, то x=a/sint или x=a/cost
Пример 4.
подходит первый случай, поэтому x=2tgt
666
Найти интегралы:
1. ò(x3+3x2 - 6)dx 2. ò(x-)dx
3. ò(3x - 2-x)dx 5. ò(sin3x - cos5x)dx
5. ò6.ò
7. ò8.ò
9. ò10.ò
11. òxlnxdx 12. òxarctgxdx
13. òxsinxdx 14. òxe-xdx
15. òsinxcos4xdx Указание: подстановка t = cosx
16. òdxУказание: подстановка t = 1 + ex
17. òdxУказание: подстановка t = lnx
18. òdxУказание: подстановка t = x2
19. òdxУказание: подстановка t = tg
20. òdxУказание: подстановка t = tgx
555
Выучить наизусть |
Определение неопределённого интеграла. Правила интегрирования. Таблицу интегралов. |