10. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее независимые переменные, неизвестные функции и их производные. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, а иначе дифференциальным уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок встречающихся в нём производных. Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка, разрешённым относительно производной называется уравнение вида y¢=f(x,y), где y - неизвестная функция, а f - заданная функция двух аргументов.

Методы решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнение вида y¢=f(x)g(y) называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно решается так: умножим обе части на dx, разделим на g(y) и проинтегрируем. При этом если g(y₀)=0, то y=y₀ тоже является решением.

Уравнение вида называется однородным уравнением. Замена неизвестной по формуле y=zx приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Уравнение вида y¢+f(x)y=g(x) называется линейным уравнением. Для его решения делаем замену y=uv. Получим u¢v+uv¢+f(x)uv=g(x); u¢v+u(v¢+f(x)v)=g(x); v¢+f(x)v=0; найдём какое-нибудь v и подставим в предыдущее равенство: u¢v=g(x); найдя отсюда u и подставив в y получим ответ.

Уравнение вида y = xy¢+f(y¢) называется уравнением Клеро. Общее решение уравнения Клеро имеет вид y = xC+f(C). Особое решение уравнения Клеро имеет вид: , где p - параметр.

Пример 1.

Решить уравнение y = xy¢+y¢³

Общее решение уравнения имеет вид y = xC+C³ . Особое решение уравнения имеет вид: . Исключая p получим 27y² + 4x³=0.

Ответ: y = xC+C³ ; 27y² + 4x³=0.

666

Решить уравнения:

1. y¢ = x³y⁵ 2. y¢ = e^ylnx

3. y¢ = 4. y¢ =

5. y¢sinx - y = sinxsin(x/2) 6. xy¢ - y = x

7. y = xy¢+siny¢ 8. y = xy¢+lny¢

555

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнение ay²+by¢+cy=0 называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим уравнение al² + bl + c = 0. Пусть его корни l₁ и l₂. Тогда возможны три случая:

1) l₁ и l₂ действительны и различны Þ

2) l₁ = l₂ =l Þ y=C₁e^lx+C₂e^lx

3) l₁ и l₂ комплексные l_1,2 = a±ib Þ y=e^ax(C₁cos(bx) +C₂sin(bx))

666

9. y² + 2y¢ - 3y = 07. y² + 2y¢ - 3y = 0

10. y² - 2y¢ - 8y = 0

11. y² + 2y¢ + y = 0

12. y² - 4y¢ + 4y = 0

13. y² + 2y¢ + 2y = 0

14. y² - 2y¢ + 5y = 0

15. y²¢ - 3y² + 3y¢ - y = 0

16. y² + 2y¢ - 3y = x - 3x²

17. y² - 2y¢ - 8y = 6e^4x

18. y² - y = (4+3x)e^2x

19. y⁽⁴⁾ - 4y² + 3y = 0

555

Приближенное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Пусть дано уравнение y¢=f(x,y) с начальным условием y(x₀) = y₀.

Простейший способ приближённого решения - метод Эйлера. Для этого задаётся шаг h и значения y вычисляются по формулам:

x_n = x_n-1 + h

y_n = y_n-1 + hf(x_n-1,y_n-1)

Погрешность этого метода имеет порядок h.

Уточнённый метод Эйлера:

x_* = x_n-1 + h/2

y_* = y_n-1 + 0,5hf(x_n-1,y_n-1)

x_n = x_n-1 + h

y_n = y_n-1 + hf(x_*,y_*)

Погрешность этого метода имеет порядок h².

666

Решить приближённо с шагом h=0,1 на отрезке [0;1] уточнённым методом Эйлера

18. y¢ = y³ + x³, y(0) = 1 19. y¢ = y² - xy + x², y(0) = -1

20. y¢ = (y/x)³ + (x/y)³, y(0) = 1 21. y¢ = , y(0) = 1

555

Ответы

1. y^-4+x⁴=C 2. e^-y = x(1 - lnx) + C 3. sin(y/x)+ln|x| + C

4. y = xe^Cx 5. y = (2sin(x/2) + C)tg(x/2) 6. y = 2x+ Cx

9. y = C₁e^-3x + C₂e^x 10. y = C₁e^-2x + C₂e^4x 11. y = C₁e^-x + C₂ xe^-x

12. y = C₁e^2x + C₂ xe^2x 13. y = C₁e^-x sinx + C₂e^-x cosx

14. y = C₁e^2x cos2x + C₂e^x sin2x 15. y = C₁e^x + C₂ xe^x + C₃ x²e^x

16. y = C₁e^-3x + C₂e^x +x² - x 17. y = C₁e^-2x + C₂e^4x + xe^4x

18. y = C₁e^x + C₂e^-x + xe^2x 19. y = C₁e^x + C₂e^-x + C₃e^Ö3x + C₄e^-Ö3x

Контрольные задания

Решить уравнения

27.1 y²¢ - 9y² + 28y¢ - 30y = 0; y² - 4y¢ - 5y = -5x + 2

27.2 y²¢ - 8y² + 14y¢ + 68y = 0; y² - y¢ - 20y = -3x - 1

27.3 y²¢ - y² + 24y¢ + 26y = 0; y² - 8y¢ + 15y = 2x - 5

27.4 y²¢ - 8y² + 9y¢ + 58y = 0; y² - 25y = 2x + 5

27.5 y²¢ - 3y² + 4y¢ - 2y = 0; y² + 6y¢ + 8y = -5x + 1

27.6 y²¢ - 3y² - 8y¢ + 30y = 0; y² - 7y¢ + 10y = -5x + 5

27.7 y²¢ - y² - 5y¢ + 125y = 0; y² + 3y¢ - 10y = -3x + 3

27.8 y²¢ + 9y² + 16y¢ - 26y = 0; y² - y¢ - 2y = 3x - 5

27.9 y²¢ + 6y² + y¢ - 34y = 0; y² + 7y¢ + 12y = 5x - 1

27.10 y²¢ - 5y² - 7y¢ + 51y = 0; y² - y¢ - 12y = 3x + 2

27.11 y²¢ + 3y² + 7y¢ - 75y = 0; y² - 6y¢ + 8y = -5x + 2

27.12 y²¢ - 13y² + 56y¢ - 78y = 0; y² - 4y¢ - 5y = -5x + 3

27.13 y²¢ + 15y² + 100y¢ + 250y = 0; y² - 9y¢ + 20y = -5x - 4

27.14 y²¢ + 4y² + 6y¢ + 4y = 0; y² + 4y¢ - 5y = -3x - 1

27.15 y²¢ + 12y² + 57y¢ + 100y = 0; y² - 16y = 5x + 1

27.16 y²¢ + y² + 4y¢ + 30y = 0; y² - 6y¢ + 8y = -3x - 4

27.17 y²¢ - 4y² - 15y¢ + 68y = 0; y² - y¢ - 6y = 2x - 4

27.18 y²¢ + 7y² + 20y¢ + 50y = 0; y² - 9y = -3x + 3

27.19 y²¢ + 6y² + 18y¢ + 40y = 0; y² - 9y = -3x + 2

27.20 y²¢ - 13y² + 65y¢ - 125y = 0; y² + 2y¢ - 15y = 5x - 3

27.21 y²¢ - 8y² + 30y¢ - 36y = 0; y² - 2y¢ - 15y = -5x - 2

27.22 y²¢ + 7y² - y¢ - 87y = 0; y² + 4y¢ + 3y = -3x + 1

27.23 y²¢ + 10y² + 49y¢ + 100y = 0; y² - 2y¢ - 3y = -5x + 2

27.24 y²¢ - 8y² + 22y¢ - 20y = 0; y² - 2y¢ - 3y = 4x + 3

27.25 y²¢ + 7y² + 27y¢ + 85y = 0; y² - 7y¢ + 12y = 4x + 5

27.26 y²¢ + 2y² - 16y = 0; y² - 5y¢ + 6y = -3x - 5

27.27 y²¢ + 11y² + 43y¢ + 65y = 0; y² - 6y¢ + 8y = -2x + 5

27.28 y²¢ + 7y² + 12y¢ + 10y = 0; y² - 16y = -5x + 1

27.29 y²¢ + 7y² + 41y¢ + 87y = 0; y² - 8y¢ + 15y = 3x - 2

27.30 y²¢ - 10y² + 48y¢ - 64y = 0; y² - y¢ - 2y = -4x - 4

27.31 y²¢ - 5y² + 7y¢ + 13y = 0; y² - y¢ - 20y = -5x - 2

27.32 y²¢ + 3y² + 16y¢ - 20y = 0; y² - y¢ - 12y = -3x + 1

27.33 y²¢ - 7y² + 25y¢ - 39y = 0; y² - y¢ - 12y = -3x + 3

27.34 y²¢ - 3y² - 8y¢ + 30y = 0; y² + 3y¢ + 2y = 3x + 4

27.35 y²¢ + 6y² + 18y¢ + 40y = 0; y² - y¢ - 12y = 4x + 2