Контрольные задания

В первом задании написать функцию, которая должна стоять в скобках, а во втором и третьем - найти интегралы

18.1

18.2

18.3

18.4

18.5

18.6

18.7

18.8

18.9

18.10

18.11

18.12

18.13

18.14

18.15

18.16

18.17

18.18

18.19

18.20

18.21

18.22

18.23

18.24

18.25

18.26

18.27

18.28

18.29

18.30

18.31

18.32

18.33

18.34

18.35

8. Определенный интеграл.

Пусть на отрезке [a;b] задана функция f(x). Разобьём отрезок на n частей точками a=x₀<x₁<x₂<...<x_n-1<x_n=b. На каждой части возьмём точки h₁, h₂, h₃, ... h_n соответственно и составим сумму , или короче. Если существует предел этой суммы, когда длины всех частей стремятся к нулю, то он называется определённым интегралом от функцииf(x) на отрезке [a;b] и обозначается .Свойства определённого интеграла.

1) , где F(x) - первообразная для f(x) (формула Ньютона-Лейбница)

2)

3)

4) (интегрирование по частям)

5) , где a=j(a) и b=j(b) (замена переменной)

6)

7) если a<b и f(x)³0, то Þ если a<b и f(x)£g(x), то

8) если f(x) непрерывна на [a;b], то , где сÎ(a;b) (теорема о среднем)

Приложения определённого интеграла:

Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=b³a, y=f(x)³0, y=0	, или кратко
Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: x=a, x=b³a, y=f(x), y=g(x)³f(x)
Площадь плоской фигуры в полярной системе координат, ограниченной линиями: j=a, j=b³a, r=r(j)³0
Длина плоской линии, заданной параметрически:
Длина плоской линии, заданной уравнением: y=f(x), a£x£b
Длина плоской линии в полярной системе координат: r=r(j), a£j£b
Объём тела, полученного вращением фигуры 0£y£f(x), a£x£b вокруг оси Ox	или кратко
Аналогично вокруг оси Oy
Площадь поверхности, образованное вращением линии y=f(x), a£x£b вокруг оси Ox	или кратко
Аналогично вокруг оси Oy

666

Вычислить площадь фигуры:

1. y = x²; y=x

Решение: x=x2 Þ x1=0, x2=1 S=

2. y = x³ - x; y = 0 3. y = x⁵ - 9x³

4. r = j(p - j), 0£j£p 5. r =

Вычислить объём тела вращения:

6. y = x²; y² = x вокруг оси Ox и Oy

7. y = x; y³ = x вокруг оси Ox и Oy

Вычислить длину линии:

8. 9y² = 4x³, x£15 9. y = 0,5(e^x + e^-x), 0£x£ln2

10. x=1-cost, y=sint 11. r = e^-j, 0£j£2p

12. x=cos³t, y=sin³t, 0£t£p/2 13. r = cosj, |j|£p/2

Вычислить площадь поверхности вращения:

14 y=, xÎ[-5;7] 15. y = 0,5(e^x + e^-x) xÎ[0;ln2]

555

Несобственные интегралы.

Если один из пределов интегрирования бесконечность, то интеграл называется несобственным интегралом первого рода и обозначается так:

Если подынтегральная функция в одной или нескольких точках отрезка [a;b] имеет разрыв, то интеграл называется несобственным интегралом второго рода и обозначается как обычный определённый интеграл.

666

Вычислить несобственные интегралы:

16. Решение:

17. 18.

19. 20.

555

Приближенное вычисление определенных интегралов.

Разобьём отрезок интегрирования на n равных частей точками x₀, x₁, x₂, ..., x_n: a=x₀<x₁<...<x_n=b. Обозначим h=(b - a)/n.

Формула прямоугольников	»h(f((x0+x1)/2)+f((x1+x2)/2)+...+f((xn-1+xn)/2))
Формула трапеций	»h(f(x0)/2+f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)+f(xn)/2)
Формула Симпсона (n - чётное)	(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+4f(xn-1)+f(xn))

666

Вычислить приближённо с точностью до 0,001:

21. 22.

23. Указание: считать, что x^x=1 при x=0

24. 25.

555

Выучить наизусть

Определение определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Формулы приложений определённого интеграла.

Ответы:

2. 0,5 3. 120,5 4. 5. 1 6. Ox: 0,3p; Oy: 0,3p

7. Ox: ; Oy:8. 42 9. 0,75 10.p 11. (1-e^-2p)

12. 1,5 13. p 14. 43p 15. (0,9375 + ln2)p 17. p

18. 19. 0,5 20. -1

Контрольные задания

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

19.1 y=x²+x; y=2x 19.2 y=x²-x; y=2x

19.3 y=sinx; y=-sinx; 0£x£p 19.4 y=e^x; y=1+(e-1)x

19.5 y=e^x+e^-x; y=e+e^-1 19.6 y=x; x=y

19.7 y=; x= 19.8 y=x-x³; y=0

19.9 y²=(10-x)³; x=0 19.10 (10-y)³=x²; y=0

19.11 y²=(10-x)⁵; x=0 19.12 (10-y)⁵=x²; y=0

Найти длину линии:

20.1 20.2

20.3 y=ln(cosx); 0£x£p/3 20.4 y=ln(sinx); p/6£x£5p/6

20.5 r=e^-j; |j|£ln2 20.6 r=cosj; |j|£p/2

20.7 r=sinj; 0£j£p 20.8 x=sint; y=cost; 0£t£p/2

20.9 x=1-sint; y=cost; 0£t£p/2 20.10 x=1-cost; y=sint; 0£t£p/2

20.11 x=1+sint; y=cost; 0£t£p/2 20.12 x=1+cost; y=sint; 0£t£p/2

Найти площадь поверхности вращения вокруг указанной оси:

21.1 вокруг ox y=5x+1, 0£x£1 21.2 вокруг ox y=5x-1, 1£x£3

21.3 вокруг ox y=-5x+1, -2£x£-1 21.4 вокруг ox y=-5x-1, -1£x£0

21.5 вокруг ox y²=x+1, -1£x£0 21.6 вокруг ox y²=x-1, 1£x£2

21.7 вокруг oy y=x², 0£y£1 21.8 вокруг oy y=x²-1, -1£y£0

21.9 вокруг oy y=x²+1, 1£y£2 21.10 вокруг oy y=5x², 0£y£20

21.11 вокруг oy y=x²-1, -1£y£3 21.12 вокруг oy y=7x², 0£y£7

Найти объём тела вращения вокруг указанной оси:

22.1 вокруг ox y=sinx; 0£x£p 22.2 вокруг ox y=cosx; 0£x£p

22.3 вокруг ox y=tgx; 0£x£p/4 22.4 вокруг ox y=ctgx; p/4£x£p/2

22.5 вокруг ox y=sinx+cosx; 0£x£p 22.6 вокруг oy x=siny; 0£y£p

22.7 вокруг oy x=cosy; 0£y£p 22.8 вокруг oy x=tgy; 0£y£p/4

22.9 вокруг oy x=ctgy; p/4£y£p/2 22.10 вокруг oy x=siny+cosy; 0£y£p

22.11 вокруг oy x=tgy+ctgy; p/6£y£p/3

22.12 вокруг oy x=siny-cosy; 0£y£p

Вычислить с точностью 0,0001 по формуле Симпсона:

23.1 23.2 23.3

23.4 23.5 23.6

23.7 23.8 23.9

23.10 23.11 23.12

23.13 23.14 23.15

23.16 23.17 23.18

23.19 23.20 23.21

23.22 23.23 23.24

23.25 23.26 23.27

23.28 23.29 23.30

23.31 23.32 23.33

23.34 23.35