Основы_акустики_Гринченко_Вовк

Это обуславливает, как и для малого жестокого цилиндра, диаграмму рассеяния подобную кардиоиде.

Как видим, полное сечение рассеяния малой мягкой сферы в че- тыре раза больше площади сечения сферы, тогда как сечение рассея- ния малой жесткой сферы во много раз меньше ее геометрического сечения. Согласно (8.85) полное сечение рассеяния жесткой сферы пропорционально частоте в четвертой степени, что обусловливает усиление рассеяния в области высоких частот.

При рассеянии коротких волн (ka >> 1) как для мягкой, так и для жесткой сфер, полное сечение рассеяния

Расчеты величины σs /πa2 по точной формуле (8.77) приведены на рис. 8.7.

Отметим, что полное сечение рассеяния для мягкой сферы на низ- ких частотах в два раза больше, чем на высоких частотах (формулы (8.83) и (8.86)). Это можно объяснить тем, что на низких частотах па- дающая звуковая волна возбуждает колебания, которые равномерно распределены на поверхности сферы таким образом, что на преобра- зование мощности плоской волны в мощность рассеянной волны ис- пользуется площадь, равная площади поверхности сферы. На высо- ких частотах рассеянная мощность возникает вследствие неравно- мерного возбуждения сферической поверхности плоской волной. По- этому рассеянная волна разделяется на две — отраженную и теневую волны; для каждой из них сечение рассеяния равняется поперечному сечению сферы.

8.8. Рассеяние плоской волны на звукопроницаемой сфере

Пусть в среду с параметрами ρ и с внесено сферическое препятствие радиусом а. Сфера наполнена средой с параметрами ρ1 и с1. Принимая во внимание опыт построения решения задачи рассея- ния плоской волны на идеальной сфере, можно решить задачу рас- сеяния плоской волны на таком сферическом препятствии.

Поле плоской волны определяется по формуле (8.65), а рассеянное поле можно записать в виде (8.71). Выделение множителя (2n + 1)in ничего не изменяет при решении задачи, ведь все будет откорректи- ровано при определении коэффициентов Cn, но при этом мы имеем возможность, использовать формулу (8.76) для сечения рассеяния. Итак, звуковое поле в среде, окружающей сферу имеет вид

В отличие от идеальной сферы в данном случае звук проникает вглубь сферического препятствия. Поле внутри сферы запишем так:

Снова отметим, что выделение множителя (2n + 1)in осуществляется только ради унификации решения. Отметим, что k = ω/c, k1 = ω/c1. По- ле p1 строится только с учетом функции jn(k1r), сферические функции Неймана yn(k1r) во внимание не принимаются, поскольку при r → 0 они стремятся к – ∞ (вспомните, подобная ситуация сложилась при изу- чении колебаний круговой мембраны).

На поверхности сферы должны выполняться условия сопряжения

Подставив (8.87) и (8.88) в систему (8.89), получим следующие равен- ства:

Тогда коэффициенты Dn определяются из уравнения (8.90) или (8.91). Итак, решение найдено. Он дает возможность вычислить звуковое поле снаружи и внутри сферы.

Как пример, на рис. 8.10 показано распределение нормированной (к амплитуде падающей волны) амплитуды давления снаружи и внут-

523

вокруг сферы. Пусть n = 1:

Пусть n > 1, проводя аналогичные выкладки, нетрудно убедиться, что

будет определять порядок величины коэффициентов Cn. Действи- тельно, если коэффициенты C0 и C1 имеют порядок (ka)3, то C2 уже имеет порядок (ka)5.

Таким образом, в случае произвольного препятствия малого вол- нового размера в ряде (8.71) для рассеянной волны ps достаточно ос- тавить лишь первые два члена, т.е.

В дальнем поле, где kr >> 1, согласно асимптотическим формулам (8.74) выражение (8.95) будет иметь вид

525

Таким образом, произвольная сфера малого волнового размера созда- ет одновременно и монопольное, и дипольное рассеяние. Другими со- ставляющими рассеянного поля можно пренебрегать. Вообще приве- денный результат действителен для малого препятствия произвольной формы.

Подставляя в (8.96) асимптотические формулы для коэффициен- тов C0 и C1 малой сферы, получаем следующую формулу для рассеян- ного поля:

Приняв во внимание, что обычно (ka)2 << 3χ1 /χ,, (8.97) можно пере- писать в виде

Неравенство (ka)2 << 3χ1 /χ не выполняется только для сферы, кото- рая подобна по своим свойствам мягкой сфере, у такой сферы значе- ние упругости χ1 очень мало. Формула (8.98) впервые была получена Релеем .

Используя формулу (8.76) в случае рассеянного поля в виде (8.97) и (8.98), получаем следующие значения для полного сечения рассеяния:

Итак, основными свойствами рассеяния звука малой сферой (ka<< 1, k1a << 1; и вообще препятствиями малых волновых разме- ров) являются:

• наличие монопольной и дипольной составляющих в рассеянном поле; если препятствие отличается от среды только сжимаемостью

Рэлей (Rayleigh) Стретт Джон Уильям (1842—1919) — английский физик, лауреат Нобелевской премии (1904).

526

(ρ1 = ρ), то имеем рассеяние монопольного типа, а если только плотно- стью (χ1 = χ), то — дипольного типа;

• сечение рассеяния пропорционально частоте в четвертой степе- ни, что обуславливает увеличение рассеивающей способности пре- пятствия с ростом частоты. Такую особенность рассеяния звука на малых препятствиях называют рэлеевским рассеянием (в честь Рэлея, который открыл этот закон в 1898 г.).

Приведенные соотношения позволяют записать полученные преж- де формулы для полного сечения рассеяния жесткой и мягкой сфер. Действительно, в случае малой жесткой неподвижной сферы имеем χ1 / χ → ∞ и ρ1 /ρ → ∞; поэтому из формулы (8.100) получаем значение σs, которое согласуется с (8.85):

в случае малой мягкой сферы имеем χ1 / χ → 0 и ρ1 /ρ → 0, поэтому из формулы (8.99) получаем значение σs, которое совпадает с (8.83):

Подставляя в формулу (8.96) асимптотические значения коэффициентов С0 и С1 при ka << 1, нетрудно убедиться, что малая мягкая сфера имеет ненаправленное рассеяние (монопольный тип), а малая жесткая неподвижная сфера создает направленное рассеянное

В завершение приведем следующие соображения относительно частотной зависимости сечения рассеяния в формулах (8.99) и (8.100), из которых следует, что с ростом частоты имеет место суще- ственное увеличение рассеивающей способности малой сферы. Релей в 1898 г. в своей фундаментальной работе [50, т. 2, с.153] писал: “Ес- ли первичный звук является сложной музыкальной нотой, то разные ее составляющие тона рассеиваются в неодинаковой пропорции. Ок- тава, например, в шестнадцать раз сильнее по сравнению с основ- ным тоном во вторичном звуке, чем это было в первичном. Нетрудно, таким образом, понять, каким образом эхо, отраженное от такого препятствия, как группа деревьев, может стать повышенным на ок- таву”. (Под октавой понимается тон с частотой в два раза большей, чем частота основного тона.)

527

Подобное явление наблюдается и при рассеянии света на малых флюктуациях плотности воздуха. Характерный размер неоднородно- сти плотности зависит от температуры. Для слоев атмосферы, где происходит рассеяние света, размеры таких неоднородностей оказы- ваются намного меньше длины волны света, который мы можем ви- деть, но значительно больше размера молекул газов, которые входят в состав воздуха. Поэтому рассеяние возникает именно на флуктуациях плотности, а не на молекулах, как это предполагал Рэлей.

Отношение длины волны красного к длине волны синего света при- близительно составляет 1,44. Возводя это число в четвертую степень, получаем приблизительно 4,3. Таким образом, согласно закону Рэлея интенсивность синего света, рассеянного в атмосфере, в четыре раза превышает интенсивность красного света. И потому в слое воздуха высотой в десятки километров в значительной мере доминируют си- ний и голубой цвета.

Мы видим небо синим, а не фиолетовым, хотя закон Релея прогно- зирует доминирование фиолетового цвета. Это расхождение обуслов- лено двумя причинами. Первая, в спектре солнечного света фиолето- вых лучей значительно меньше, чем синих. Вторая, чувствительность глаза человека зависит от длины волны света; на фиолетовые лучи глаз реагирует значительно слабее, чем на сине-зеленые.

Солнечный свет, который проходит сквозь слой атмосферы, оказы- вается обедненным на коротковолновую часть своего спектра. Поэтому солнце, которое мы видим в прошедших сквозь атмосферу лучах, при- обретает слабый желтый оттенок. Этот оттенок усиливается, он стано- вится оранжевым и красным с закатом солнца, когда солнечным лу- чам необходимо пройти больший путь в атмосфере.

Возникает вопрос, почему на голубом небе мы видим белые тучи. Дело в том, что белые тучи состоят из маленьких капель воды или кри- сталликов льда, размеры которых значительно больше длины волн све- та, который мы можем видеть. Поэтому при рассеянии солнечного света на частицах, которые образуют тучи, закон Релея не выполня- ется. Рассеяние света всех длин волн в этом случае происходит при- близительно с одинаковой интенсивностью, и тучи воспринимаются белыми.

Предлагаем читателям провести такой опыт [24, с. 339]. Налейте в стеклянную посуду воду и направьте на сосуд сбоку луч света от кар- манного фонаря. Посмотрите на свет, который рассеян под углом

90 , и на фонарь сквозь сосуд с водой. Прибавьте к воде несколько капель молока и перемешайте. Продолжайте смотреть, постепенно добавляя молоко. Обратите внимание на голубой оттенок рассеянного света и на желтоватый или красный оттенок у света, который прошел сквозь сосуд. Объясните это явление. Если добавить еще молоко, то го-

528

лубой оттенок рассеянного света исчезнет. Рассеянный свет будет поч- ти белым, а воображаемый “закат” будет становиться все более крас- ным. Объясните это. В конце концов, вода в сосуде станет настолько мутной, что мы не сможем видеть сквозь ее толщу лампочку фонаря; рассеянный свет станет белым, и мы не будем видеть луч света. “Воз- дух” превратится в “белую тучу”.

Рассеяние света и звука, в сущности, происходит по одинаковым законам. Хотя то, что длина световой волны в видимом диапазоне час- тот имеет порядок 5 10–5 см, обуславливает значительную разницу в рассеянии света и звука в воде. В отличие от воздуха, где флуктуации концентраций молекул не только возможны, а и постоянно возникают благодаря тепловому движению молекул, молекулы воды “касаются” и потому размещены в среде довольно равномерно. Рассеяние волн про- исходит на маленьких твердых частицах, которые находятся в естест- венной водной среде. Обычно эти частицы значительно превышают по размерам длину световой волны, поэтому почти для всех твердых час- тиц в море сечение рассеяния для света определяется их геометриче- ским сечением (формула (8.86)). Те самые частицы оказываются зна- чительно меньшими, чем длина звуковой волны в море (обычно 1см и больше), и потому звук на них испытает рэлеевское рассеяние (форму- ла (8.99)). Этим объясняется тот факт, что для света морская вода мут- ная, а для звука прозрачная.

8.9. Рассеяние звука газовым пузырьком в жидкости

Рассмотрим рассеяние на препятствиях, которые, несмот- ря на малые размеры по сравнению с длиной звуковой волны (ka << 1), при соответствующих частотах звуковой волны имеют вы- сокую эффективность рассеяния. Еще раз подчеркнем, что речь идет именно о малом препятствии. Природа этого аномального рассеяния связана с резонансными явлениями. Интересным и важным для практики примером такого препятствия является газовый пузырек в жидкости. Пузырек - препятствие, которое имеет значительно мень- шие значения плотности и упругости, чем жидкость, которая ее ок- ружает.

В начале приведем следующие физические соображения. Анали- зируя колебания пузырька, следует отметить, что в колебаниях участ- вует не только газо-паровая смесь, заполняющая объем пузырька, но и часть жидкости, которая окружает пузырек и движется с ним практически синфазно. Эта жидкость образует присоединенную мас- су. Газо-паровая смесь и поверхностное натяжение образуют упру- гость системы, а потери энергии на излучение и на теплообмен с ок-

529

ружающей средой эквивалентны присутствию трения в системе. По- этому, с точки зрения теории механических колебаний, пузырек эк- вивалентен массе на пружине при наличии трения, т. е. закономер- ности колебаний для этих двух случаев одинаковы. Известно, что в такой колебательной системе имеет место резонанс. Амплитуда коле- баний пузырька будет максимальной на той частоте падающей гар- монической волны, которая совпадает с частотой резонанса. На этой частоте компенсирующее движение будет наибольшим и также наи- большим будет рассеяние.

Теперь перейдем к количественным соотношениям. Пусть на газо- вый пузырек радиусом а, который находится в жидкости с плотно- стью ρ и со скоростью звука с, падает плоская гармоническая волна с частотой ω (рис. 8.8). Частота звука такая, что выполняется условие ka << 1. Будем считать, пренебрегая при этом вязкостью и теплопро- водностью, что газ внутри пузырька описывается линеаризованным адиабатическим уравнением состояния (4.16):

рость звука для газа, который заполняет пузырек.

Выразим давление pп через колебательную скорость υп нормаль- ных смещений поверхности пузырька. Поскольку

где ρп0 — средняя плотность газа; V — объем пузырька; dV — изме- нение объема, которое соответствует ρп . Перепишем (8.105), учиты-

вая формулы для объема сферы V = 4πa3 /3 и, соответственно, dV = 4πa2da:

Подставив (8.106) в (8.104) и продифференцировав это уравнение по времени, с учетом того, что dpп /dt = −iωpп, а da /dt = υп является ко-

лебательной скоростью нормальных смещений поверхности пузырька, получим искомое соотношение:

где χп = ρп0cп2 — упругость газа в пузырьке.

530